質量とエネルギーの関係


特殊相対論の質量とエネルギーの関係式を確認してみる

1.前準備

1-1. テイラー展開

閉区間 [\(\,a\,,\,b\,\)]で\(\,n\,\)回微分可能な関数\(\,f(x)\,\)において、\(n\to\infty\,\)にて

\(f(b)=f(a)\!+\!\dfrac{f'(a)}{1!}(b\!-\!a)\!+\!\dfrac{f”(a)}{2!}(b\!-\!a)^2\cdot\!+\!\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b\!-\!a)^n\,\)(1)

とできる。この (1)式を\(\,b=x\,\)とするのが別形である。
そして\(\,a=0\,\)とするのが マクローリン展開( Maclaurin expansion ) である。

\(\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\quad\cdots\,\)(2)

ここでは、ローレンツ変換で用いる関数\(\,\,f(x)=(1-x^2)^{-1/2}\,\,\)をマクローリン展開する。

1-2. \(\,\,f(x)\,\)の微分

\(\quad f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\quad\cdots\,\)(3)

を微分する。まず1回微分すると

\(\quad f'(x)=(-\dfrac{1}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}=x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}\quad\cdots\,\)(4)

2回微分では

\(\quad f^{\prime\prime}(x)=(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}+(-\dfrac{3}{2})(-2x)x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\qquad=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+3x^2(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\quad\cdots\,\)(5)

さらに微分すると

\(\quad f^{\prime\prime\prime}(x)=(-\dfrac{3}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\qquad +3x^2(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad =3x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad =9x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\quad\cdots\,\)(6)

\(\quad f^{(4)}(x)=9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+9x(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad+45x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+15x^3(-\dfrac{7}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad =9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+90x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+105x^4(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\quad\)(7)

\(\quad f^{(5)}(x)=225x(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+1050x^3(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad +945x^5(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}\quad\cdots\,\)(8)

\(\quad f^{(6)}(x)=225(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+4725x^2(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad +7875x^4(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}+10395x^6(1-x^2)^{-\frac{13}{2}}\quad\cdots\,\)(9)

1-3. \(\,\,f(x)\,\)のマクローリン展開

\(\quad f^{(n)}(x)\,\)に\(\,x=0\,\)を代入すると、

\(\quad f(0)=1\,,\quad f'(0)=0\,,\quad f^{\prime\prime}(0)=1\,,\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=0\)
\(\quad f^{(4)}(0)=9\,,\quad f^{(5)}(0)=0\,,\quad f^{(6)}(0)=225\)

なので、それぞれの値を(2)式に代入すると

\(\quad f(x)=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}=1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{8}x^4+\dfrac{5}{16}x^6+\cdots\,\,\)(10)

のように展開することが出来る

2.4次元時空での運動

2-1. 固有時間

慣性系\(\,S(t,x,y,z)\,\)と慣性系\(\,S'(t’,x’,y’,z’)\,\)において、
\(\quad dt=t’-t\,,\quad dx=x’-x\,,\quad dy=y’-y\,,\quad dz=z’-z\)

とすると、事象の隔たりを 世界距離( world distance :\(\,ds\,\) )といい、次の式で表される。

\(\quad ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad\cdots\,\)(11)

ここで空間座標をまとめて\(\,\mathbf{x}\,\)で表すと

\(\quad ds^2=c^2dt^2-d\mathbf{x}^2\quad\cdots\,\)(12)

慣性系\(\,S’\,\)が\(\,S\,\)に対して、速度\(\,v\,\)で等速運動しているとすると、

ローレンツ変換 (Lorentz transformation )は

\(\quad\left(\begin{array}{c}\bf{x’}\\ct’\end{array}\right)=\gamma\left(\begin{array}{cc}1&\beta\\ \beta&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\bf{x}\\ct\end{array}\right)\quad\cdots\,\)(13)

ここで、\(\beta=\dfrac{v}{c}\,\)であり\(\quad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\,\)である。

この\(\,ds^2\,\)はローレンツ変換で不変である。

\(\quad ds^2=-c^2dt^2+d\mathbf{x}^2=-c^2dt’^2+d\mathbf{x}’^2\quad\cdots\,\)(14)

世界線の長さは\(\,\int\sqrt{-ds^2}\,\)として定義出来る。パラメータとして慣性系\(\,S\,\)の時間座標\(\,t\,\)そのものを選ぶことが出来る。

\(\quad\displaystyle\int\sqrt{-ds^2}=c\displaystyle\int dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=c\displaystyle\int d\tau\quad\cdots\,\)(15)

ここで時間定数\(\,\tau\,\)を定義する。固有時 (proper time )。

\(\quad d\tau=dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=dt’\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}’}{dt’}\right|^2}\quad\cdots\,\)(16)

式(15)は世界線に沿っての固有時間の長さを距離の単位で与える。これは、質点の軌道の形そのものによって定まる量なので、ローレンツ変換で不変である。

2-2. 4元速度

時間\(\,t\,\)を加えた4次元で固有時間に対する速度を考える。

\(\quad u_t=\dfrac{dct}{d\tau}\,,\,u_x=\dfrac{dx}{d\tau}\,,\,u_y=\dfrac{dy}{d\tau}\,,\,u_z=\dfrac{dz}{d\tau}\quad\cdots\,\)(17)

ここで、速度の大きさを考える場合、世界距離の計算と同様に時間成分の2乗はマイナスとなる。大きさを計算(内積をとる)する。

\(\quad-u_t^2+u_x^2+u_y^2+u_z^2=\dfrac{1}{d\tau^2}(-dct^2+dx^2+dy^2+dz^2)\)
\(\qquad =\dfrac{1}{d\tau^2}(-c^2d\tau^2)=-c^2\quad\cdots\,\)(18)

となり、4元速度の大きさは一定値になってしまう。
ここで、四元速度の表記を以下のようにする。

\(\quad u^{\mu}\equiv\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}\quad\cdots\,\)(19)

なお、\(u^0=u_t\,,\,u^1=u_x\,,\,u^2=u_y\,,\,u^3=u_z\,\)である。

式(16)、(17)より

\(\quad u^{\mu}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\dfrac{dx^{\mu}}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}v^{\mu}\quad\cdots\,\)(20)

また、

\(\quad u^0=c\dfrac{dt}{d\tau}=\gamma\dfrac{cdt}{dt}=c\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,\)(21)

2-3. 4元運動量
4元速度を用いて4元運動量を\(\,m\,\)を静止質量として以下のように定義する。

\(\quad p^{\mu}=m\,u^{\mu}=m\gamma v^{\mu}\quad\cdots\,\)(22)

これにより、\(p^0\,\)は

\(\quad p^0=mu^0=mc\gamma=\dfrac{mc}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,\)(23)

ここで、前準備の式(10)より

\(\quad\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1+\dfrac{1}{2}\beta^2+\dfrac{3}{8}\beta^4+\dfrac{5}{16}\beta^6+\cdots\quad\cdots\,\)(24)

\(\,\beta=v/c\,\)なので、式(23)と(24)より

\(\quad p^0=mc+\dfrac{mc}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3mc}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+\cdots\quad\cdots\,\)(25)

ここで、\(v/c\to 0\,\)の低速において、式(25)の両辺に光速\(\,c\,\)をかけると

\(\quad p^0c=mc^2+\dfrac{1}{2}mv^2+\cdots\qquad\cdots\,\)(26)

\(\,p^0c\,\)は質点のエネルギーを表しており、運動エネルギーと
静止エネルギー\(\,mc^2\,\)の和として表される。







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