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音速

音速を流体力学的に導出する。中央大学棚橋先生の「流体力学」を参考させてもらいました。

1．音波

　Wikipediaでは、「気体、液体、固体を問わず、弾性体を伝播するあらゆる弾性波の総称をさす。」となっている。流体として考えると、密度の変化が音速で伝わっていくものということになる。密度が上がると圧力が上がるが、そのために生じる圧力勾配力は流体の圧力を下げる向きにかかるため、密度の値をもとの値に戻そうとする復元力としての役割を果たす。この復元力のために流体の振動が発生するが、これが空間的に伝わっていくのが音波の伝搬である。

1-1: モデル化

　$x\,$軸方向に伝搬する平面波の音波について考える。全体の密度は$\,\rho_0\,$一定とする。ここで、密度が微小に変化した場合を考える。

$\quad \rho(t,x)=\rho_0+\delta\rho(t,x)$
$\qquad\,\,|\delta\rho(t,x)|\ll\rho_0\qquad\cdots\,$(1)

　微小の密度(圧力)変化に対応して、速度場も微小に変化する。音波がない場合は流体は静止しているので、静止速度場はゼロである。
$\qquad\bm{v}(t,x)=v_0+\delta v(t,x)=\delta v(t,x)\qquad\cdots\,$(2)
　微小圧力変化$\,\delta\rho(t,x)\,$とそれに対応する流体の平衡位置からのズレが$\,\delta v(t,x)\,$である。
　状態方程式を$\,P=P(\rho)\,$とする。

1-2: 運動方程式
　流体力学の連続の式(質量保存則)とオイラー方程式(粘性を含まない運動量保存則)を適用する。

　・連続の式
$\qquad\pdr{\rho}{t}+\nabla\cdot(\rho\bm{v})=0\qquad\cdots\,$(3)
$\qquad\pdr{\rho}{t}+\nabla\cdot(\rho\bm{v})=\pdr{}{t}(\rho_0+\delta\rho)+\nabla\cdot[(\rho_0+\delta\rho)\delta\bm{v}]$
$\qquad\quad=\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\nabla\cdot\delta\bm{v}+\nabla\cdot(\delta\rho\delta\bm{v})\simeq\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\pdr{\delta v}{x}=0\qquad\cdots\,$(4)

　$\qquad\quad\delta\rho\delta\bm{v}\,$項は2次の微少量のため無視した。$\quad(\quad\because\quad\delta\rho\ll\rho_0\quad)$

　・オイラー方程式
$\qquad\pdr{\bm{v}}{t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}=-\dfrac{1}{\rho}\nabla P\qquad\cdots\,$(5)

　まず　左辺は$\quad\pdr{\delta\bm{v}}{t}+(\delta\bm{v}\cdot\nabla)\delta\bm{v}=\pdr{\delta v}{t}+\pdr{\delta\bm{v}}{x}\delta\bm{v}\sim\pdr{\delta v}{t}\qquad\cdots\,$(6)

　ここで$\,\partial\bm{v}/\partial t \delta\bm{v}\,$は2次の微少量なので無視した。

　右辺は$\quad-\dfrac{1}{\rho}\nabla P(\rho)=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{dP}{d\rho}\nabla\rho=-\dfrac{1}{\rho_0+\delta\rho}\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0+\delta\rho}\nabla(\rho_0+\delta\rho)\qquad\cdots\,$(7)

　ここで各項目の計算をまとめる。
$\qquad\bullet\quad\dfrac{1}{\rho_0+\delta\rho}=\dfrac{1}{\rho_0}\left\{1-\dfrac{\delta\rho}{\rho_0}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\delta\rho}{\rho_0}\right)^2-\cdots\right\}\quad\simeq\quad\dfrac{1}{\rho_0}$
$\qquad\bullet\quad\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0+\delta\rho}\sim\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0}+\left.\dfrac{d^2P}{d\rho^2}\right|_{\rho_0}\delta\rho\quad\simeq\quad\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0}$
$\qquad\bullet\quad\nabla(\rho_0+\delta\rho)\quad\simeq\quad\nabla\delta\rho\qquad(\quad\because\quad\rho_0\sim const.\quad)$

$\quad\pdr{\delta v}{t}\,\simeq\,-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\nabla\delta\rho=-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}\qquad\cdots\,$(8)

$\blacklozenge\,\,\,$ここで、(4)式と(8)式を再掲する。

$\quad\left\{\begin{array}{lr}\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\pdr{\delta v}{x}=0&\cdots\,\mathrm{(4)}\\
\pdr{\delta v}{t}=-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}&\cdots\,\mathrm{(8)}\end{array}\right.$

$\quad$ここで、(4)式を時間微分する。
$\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{t}\pdr{\delta v}{x}=\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{x}\pdr{\delta v}{t}=0\qquad\cdots\,$(9)

$\quad$(9)式に(8)式を代入する。
$\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{x}\left(-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}\right)=\ppdr{\delta\rho}{t^2}-\dfrac{dP}{d\rho}\ppdr{\delta\rho}{x^2}=0\qquad\cdots\,$(10)

　ここで$\quad\dfrac{dP}{d\rho}=c^2\quad$とおくと、式(10)は次のようになる。
$\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}=c^2\ppdr{\delta\rho}{x^2}\qquad\cdots\,$(11)

　速度$\,c\,$の進行波となる。$\qquad c=\sqrt{\dfrac{dP}{d\rho}}$

1-3: 圧縮率で音速を表す

　圧縮率$\,\kappa\,$とは系にかかる圧力に対して、系の体積がどの程度変化するかを表す状態量であり、以下の式で表される。
$\qquad\kappa=-\dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dP}\qquad\cdots\,$(12)$\hspace{20mm}$【参考】：個体弾性率$\,\,\, K=-V\dfrac{dP}{dV}\qquad$

　音速の二乗は
$\quad c^2=\dfrac{dP}{d\rho}=\dfrac{dV}{d\rho}\dfrac{dP}{dV}\quad\cdots\,$(13)

　ここで$\quad V=\dfrac{M}{\rho}\quad$なので、$\quad \dfrac{dV}{d\rho}=\dfrac{d}{d\rho}\dfrac{M}{\rho}=-\dfrac{M}{\rho^2}=-\dfrac{V^2}{M}\qquad$これを式(13)に代入すると

$\qquad\dfrac{dP}{d\rho}=-\dfrac{V^2}{M}\dfrac{dP}{dV}=-\dfrac{V}{\rho}\dfrac{dP}{dV}=\dfrac{1}{\kappa\rho}\qquad\cdots\,$(14)

　よって音速は
$\qquad c=\sqrt{\dfrac{1}{\kappa\rho}}\qquad\cdots\,$(15)

1-4: 気体の音速
　理想気体で考える。理想気体の状態方程式は、$\mu\,$を$1$モルの質量として、

$\qquad P=RT\dfrac{n}{V}=RT\dfrac{M/V}{M/n}=RT\dfrac{\rho}{\mu}\qquad\cdots\,$(20)

　圧力$\,P\,$の全微分は

$\qquad dP=\left(\pdr{P}{T}\right)_{\rho}dT+\left(\pdr{P}{\rho}\right)_Td\rho\qquad\cdots\,$(21)

$\qquad\left(\pdr{P}{T}\right)_{\rho}=\dfrac{R\rho}{\mu}=\dfrac{P}{T}\quad,\qquad\left(\pdr{P}{\rho}\right)_T=\dfrac{RT}{\mu}=\dfrac{P}{\mu}$

　これらを式(12)に代入すると

$\qquad dP=\dfrac{P}{T}dT+\dfrac{P}{\rho}d\rho\qquad\Longrightarrow\quad \dfrac{dP}{P}-\dfrac{d\rho}{\rho}=\dfrac{dT}{T}\qquad\cdots\,$(22)

$\blacklozenge\,\,\,$気体の内部エネルギー$\,U\,$は定積比熱より求められる。

$\qquad dU=C_vdT\qquad$・単原子分子：$\,C_v=\dfrac{3}{2}R\qquad$二原子分子：$\,C_v=\dfrac{5}{2}R\qquad\cdots\,$(23)

　熱力学の第一法則に」より

$\qquad dU=-PdV+dQ’\qquad\cdots\,$(24)

　音の振動は断熱的なので$\,dQ’\,$をゼロとすると

$\qquad dU=-PdV=-Pd\dfrac{\mu}{\rho}=P\mu\dfrac{d\rho}{\rho^2}=RT\dfrac{\rho}{\mu}\mu\dfrac{d\rho}{\rho^2}=RT\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,$(25)

$\blacklozenge\,\,\,$２原子分子を考え、式(23)と式(25)の係数を比較すると、以下の関係が導かれる。

$\qquad\dfrac{5}{2}\dfrac{dT}{T}=\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,$(26)

　式(26)と式(22)から

$\qquad\dfrac{dT}{T}=\dfrac{2}{5}\dfrac{d\rho}{\rho}=\dfrac{dP}{P}-\dfrac{d\rho}{\rho}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{dP}{P}=\dfrac{7}{5}\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,$(27)

　音速は式(27)と式(20)より

$\qquad c=\sqrt{\dfrac{dP}{d\rho}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{P}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{RT}{\mu}}\qquad\cdots\,$(28)

$\blacklozenge\,\,\,$空気( 平均分子量:29　温度:0℃ )で計算してみると

$\qquad\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{RT}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{8.314\times\,273}{29.0\times 10^{-3}}}\simeq 331.0\,\,$m/s　

おおよそ再現出来ている。

◆ 参考資料

流体力学講義ノート第9回流体の波動
：https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~norihiro.tanahashi/pdf/hydrodynamics/note_hydrodynamics_9.pdf

電離層

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\mb{\mathbf}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
気体分子の衝突でプラズマを調べていたら、電離層関係の資料が出てきたので、少し纏めてみる。

1. 地球電離圏

　地球電離圏は，太陽からの極端紫外線(Extra Ultra Violet: EUV)放射によって部分電離された地球の超高層大気領域である．$60\sim 800$km程度の高度範囲に存在し，国際宇宙ステーションや低高度を周回する人工衛星は，電離圏の中を飛翔している．電子密度および中性大気密度の鉛直構造を次に示す．

　$300$km付近に現れる電離圏のピーク高度では電子密度が $10^{11}$から$10^{12}$m$^{-3}$程度にまで達するが，中性大気の密度は同高度で$10^{15}$m$^{-3}$程度であるため，地球電離圏はもっとも濃い部分ですら$0.1\%$程度が電離しているに過ぎない弱電離プラズマであると言える．このため，地球電離圏では，電離大気が背景に存在する中性大気と運動量，熱量の交換を行うことにより，完全電離プラズマ中では見られないような物理過程が生じる．

また，地球電離圏は，特に高緯度領域において，その上部に広がる地球磁気圏と磁力線を介して結合しており，磁気圏からの電場の投影，および荷電粒子の降下によって大きく影響を受けることになる．

2. 酸素の電離

酸素分子は以下の工程でイオン化する．

$(1)\,\,\mathrm{O}_2\,\to\,2\mathrm{O}\hspace{18mm}5.12\,\,$[eV]
$(2)\,\,\mathrm{O}\,\to\,\mathrm{O}^++\,e\hspace{10mm}13.62\,\,$[eV]
$(3)\,\,\mathrm{O}_2\,\to\,\mathrm{O}_2^++\,e\hspace{8mm}12.07\,\,$[eV]

ここで、$\quad h\nu=h\dfrac{c}{\lambda}=E\,$
から光反応の波長を計算する．

$\,h=6.626\times 10^{-34}\,\,$J･s$\qquad c=2.998\times 10^8\,\,$m/s$\qquad e=1.602\times 10^{-19}\,\,$C$\qquad$より
$\,\lambda\,$[nm]$\,\times\,$E [eV]$\,=1240\quad$となる．よって各反応の光の波長は

$(1)\,\,\mathrm{O}_2\,\to\,2\mathrm{O}\hspace{18mm}5.12\,\,$[eV]$\qquad 242\,$nm
$(2)\,\,\mathrm{O}\,\to\,\mathrm{O}^++\,e\hspace{10mm}13.62\,\,$[eV]$\qquad 91\,$nm
$(3)\,\,\mathrm{O}_2\,\to\,\mathrm{O}_2^++\,e\hspace{8mm}12.07\,\,$[eV]$\qquad 103\,$nm

　この図は大気圏の高度と酸素の反応と光の波長を示したものです。ここでは触れないが、オゾンの生成・消長が高度によって変わる関係を表している。

　右端は高度による温度変化を表したものである。
　
　

　
　
　
　酸素プラズマの温度と各粒子の組成の関係を表したものである。

　左端は$\,5000\,$K からであるが、この温度では酸素原子状態が大半である。$8000\,$K 位から、$\mathrm{O}^+\,$が増加してくる。
　
　$20000\,$K 位から、$\mathrm{O}^{++}\,$イオンが増加してくる。

　熱圏での温度は$\,1500\,$K 程度なので、$\mathrm{O}\,$と$\,\mathrm{O}^+\,$が卓越している状態。
　
　
　
　
　
　

　酸素分子とオゾンの紫外吸収スペクトルを示す。

　前述したように、酸素分子は紫外域で励起され、解離＆電離などの反応で、オゾンを生成する。
　生成されたオゾンは紫外域全体に強い吸収を示し、熱圏の温度を高めている。

3. プラズマ振動

　電子とイオンが混ざり合った一様な状態があるとしよう。そこである電子のクラスター（塊）が少しだけ空間的変位すると、それらは他の電子、イオンにより反対方向の力を受けるであろう。すなわちバネの運動と同じように振動することが期待される。これはいろいろなプラズマで観測される典型的な振動であり、プラズマ振動と呼ばれる。

　平衡状態ではイオンと電子が一様に分布している。ところが何らかの原因で、それらの成分の分布に乱れが生じると、ある場所の電子の分布密度が変化する。このときイオンは電子に比べて重いので動かないものとする。

　さて電子が集合すると、電子間にはクーロンの斥力が作用して、もとの平衡点に戻ろうとする。しかし、電子には慣性があるため、その平衡点から行き過ぎて別の場所の密度分布が大きくなってしまう。こうしてプラズマ内の分子は振動する。

　問題を簡単にするため、一次元で考える。左図の$\,x\,$点にあった電子が、その平衡点から$\,s\,$だけ変位し、また同じ時刻に$\,x+\mathit{\Delta}t\,$の点にあった電子は$\,s+\mathit{\Delta}s\,$だけ移動したとする。するとはじめ$\,\mathit{\Delta}x\,$の間にあった電子群は、$\mathit{\Delta}x+\mathit{\Delta}s\,$の間に移動することになる。電子の数は保存するから以下の式が成り立つ。

$\qquad n_0\mathit{\Delta}x=n(\mathit{\Delta}x+\mathit{\Delta}s\,)\qquad\cdots\,$(1)

ここで$\,n_0\,$は平衡の状態の電子の平均数密度、$n\,$は移動後の平均数密度である。(1)から

$\qquad n=\dfrac{n_0}{1+\frac{\mathit{\Delta}s}{\mathit{\Delta}x}}\simeq n_0\left(1-\dfrac{ds}{dx}\right)\qquad\cdots\,$(2)

　空間内には、電子の他に動かない正イオンが平均数密度$\,n_0\,$で一様に分布しているから、空間内の電荷密度のズレ$\,\rho\,$は

$\quad\rho=-en+en_0=n_0e\dfrac{ds}{dx}\qquad\cdots\,$(3)

　ガウスの法則は以下のようになっている。
$\qquad \mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})=\dfrac{\rho(\bm{x})}{\ve}\qquad\cdots\,$(4)$\qquad$なので

$\qquad \dfrac{dE}{dx}=-\dfrac{n_0e}{\ve}\dfrac{ds}{dx}\qquad\cdots\,$(5)

　これを$\,x\,$について積分すると、場所$\,x\,$に生じる電場は

$\qquad E(x)=\dfrac{n_0e}{\ve}s-C\qquad\cdots\,$(5)
　ここで、電子の平衡点からのズレ$\,s\,$が$\,0\,$のとき、電場は$\,0\,$であるから$\,C=0\,$である。
このとき電子の運動方程式は

$\qquad m\dfrac{d^2s}{dt^2}=-eE=-\dfrac{n_0e^2}{\ve}s\qquad\cdots\,$(6)

　つまり電子は角振動数$\,\,\omega_p=\sqrt{\dfrac{n_0e^2}{\ve m}}\,\,$で振動する。この$\,\omega_p\,$をプラズマの特性振動数という。
　電子の定数を入れると

$\qquad \omega_p=\sqrt{\dfrac{n_0e^2}{\ve m}}=5.64\times10\sqrt{n_0[\mathrm{m}^{-3}]}\quad[\mathrm{s}^{-1}]\qquad\cdots\,$(7)

　電離圏の電子密度は$\,\,10^{11}\sim 10^{12}\,[\mathrm{m}^{-3}]\,\,$なので、プラズマ振動数は数Mhz～数十Mhz となり、短波(HF)が反射されることで、地球の裏側への通信が可能となる。
　
　
　
　

◆ 参考資料

宇宙天気ミニ講座・電離圏編：https://sw-forum.nict.go.jp/forum/2019/pdf/kouza_3.pdf
古典的プラズマ振動について：加藤雄介研究室　https://webpark1378.sakura.ne.jp
電磁気学演習：砂川重信　岩波書店　物理テキストシリーズ-5　2020年第35刷

ガス粒子の衝突

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

1.ガス粒子の衝突

　宇宙での流体を考える際、ガスの力学的な時間に対して電子・分子の衝突時間が十分に短い場合、流体近似が成り立つ。
　これは速度空間が十分に緩和して、連続体として見なせる状態である。気体を１種類の分子からなっており、半径$\,r\,$の剛体球で、ある分子１個が一定の速さ$\,v\,$で運動し、他の分子は静止しているという前提で衝突を考える。
　分子間の距離が$\,2r\,$になると衝突するので、衝突断面積は$\,2\pi(2r)^2\,$であり、単位体積当たり$\,n\,$個の分子が分布する中を速さ$\,\langle v\rangle\,$で走る分子は平均時間間隔$\quad\tau=\dfrac{1}{n\pi(2r)^2\langle v\rangle}\quad$で衝突を繰り返すことになる。

　この時間$\,\tau\,$のことを平均自由時間または緩和時間という。また、分子は衝突の間に平均$\quad l_M=\langle v\rangle r=\dfrac{1}{n\pi(2r)^2}\quad$の距離だけ動くことが出来る。この$\,l_M\,$を平均自由行程と呼ぶ。

　$\star\,$まず、全部の分子が同じ速度で運動している場合を考える。
１つの分子の速度(速さではなく)を$\,\bm{v}\,$とし、もう一つの分子の速度を$\,\bm{v}’\,$とする。２つの分子の相対速度を$\,\bm{v}_r\,$とすると、これらの関係は左図のようになる。
　余弦定理から$\quad\bm{v}_r^2=\bm{v}^2+\bm{v}’^2-2\,\bm{vv}’\cos\theta\quad$の関係を導く。ここで$\,|\bm{v}|=|\bm{v}’|\,$とすると、$\,v_r\,$は
$\,v_r=\sqrt{2v^2-2v^2\cos\theta}=v\sqrt{4\dfrac{1-\cos\theta}{2}}=2v\sin\frac{\theta}{2}$　となる。
同じ$\,\theta\,$をもつ衝突について、紙面の内外での確立に差がないとして、立体角の要素を計算する。

$\quad\di\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\omega=\int_0^{\pi}2\pi\sin\theta\,d\theta\quad$そして、$\,v_r\,$の平均値は次のようになる。

$\,\bar{v}_r=\dfrac{\di\int_0^{\pi}2v\sin\frac{\theta}{2}2\pi\sin\theta d\theta}{\di\int_0^{\pi}2\pi\sin\theta d\theta}=\dfrac{4\pi v\di\int_0^{\pi}\sin\frac{\theta}{2}\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}d\theta}{2\pi\left[-\cos\theta\right]_0^{\pi}}=2v\di\int_0^{\pi}\sin^2\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}d\theta$

　ここで$\,\phi=\theta/2\,$と置くと、$d\theta=2d\phi\,$となり、$v_r\,$は
$\,v_r=4v\di\int_0^{\pi/2}\sin^2\phi\cos\phi\,d\phi=2v\di\int_0^{\pi/2}\sin 2\phi\cos\phi\,d\phi=2v\di\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{2}\left(\sin 3\phi\,\sin\phi\right)d\phi$
よって、$v_r=v\left[-\dfrac{1}{3}\cos 3\phi-\cos\phi\right]_0^{\pi/2}=\dfrac{4}{3}v\quad$となる。

　$\star\,$次に、速度が違う場合を考える。
　同じく余弦定理$\quad\bm{v}_r^2=\bm{v}^2+\bm{v}’^2-2\,\bm{vv}’\cos\theta\quad$から同じように立体角と角度の積分の計算するが、ちょっと複雑なので結果だけを示す。$\,v>v’\,$の場合、相対速度は
　$\quad v_r=\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}\quad$となる。

　$\star\,$続いて、全ての分子が Maxwell-Boltzmann 分布で運動している場合を考える。
　速度空間において、速さが$\,v\,$と$\,v+dv\,$の間にある分子数を求める。そのためには$F(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z\,$を$\,v\,$と$\,v+dv\,$の間にある部分について$\,v_x,v_y,v_z\,$の積分をする。
この部分の球殻の体積は$\,4\pi v^2dv\,$であるので、この球殻に含まれる分子数は、全体の分子数を$\,N\,$、分子の質量を$\,m\,,\,\alpha=\dfrac{m}{2k_BT}\,$とおくと

　$F(v_x,v_y,v_z)dv=N\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\exp(-\alpha(v_x^2+v_y^2+v_z^2)4\pi v^2dv\,$となり、

　$F(v)dv=4\pi N\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}v^2\,e^{-\alpha\,v^2}dv\quad$となる。
以降、$\,F(v)\,$は割合を表すととし全体の分子数を省略する。
$\quad F(v)=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\exp(-\alpha v^2)dv\qquad$とする。

　これは水素分子の各温度毎(K)の速度分布を計算したものである。

$\,\bullet\,$分布関数の最大値$\,v_{max}\,$を求める。
$\quad\dfrac{dF}{dv}=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}(2v-2\alpha v^3)e^{-\alpha v^2}=0\quad$より
$\quad 1-\alpha v^2=0\quad$なので、$\,v_{max}=\dfrac{1}{\sqrt{\alpha}}$

$\,\bullet\,$続いて分布関数の平均値$\,\langle v\rangle\,$を求める。
$\quad\langle v\rangle=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\di\int_0^{\infty}v^3e^{-\alpha v^2}dv\quad$ここで、$v^2=w\quad$とおくと、$\,dv=\dfrac{1}{2v}dw\quad$より
$\quad\di\int_0^{\infty}v^3e^{-\alpha v^2}dv=\di\int_0^{\infty}\dfrac{w}{2}e^{-\alpha w}dw=\left[\dfrac{w}{2}e^{-\alpha w}\dfrac{(-1)}{\alpha}\right]_0^{\infty}-\di\int_0^{\infty}\dfrac{1}{2}e^{-\alpha w}\dfrac{(-1)}{\alpha}dw$
$\qquad =\dfrac{(-1)}{2\alpha}\left[\dfrac{w}{e^{\alpha w}}\right]_0^{\infty}+\dfrac{1}{2\alpha}\di\int_0^{\infty}e^{-\alpha w}dw=0+\dfrac{1}{2\alpha}\dfrac{(-1)}{\alpha}\left[e^{-\alpha w}\right]_0^{\infty}=\dfrac{1}{2\alpha^2}\quad$なので
$\quad\langle v\rangle=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\dfrac{1}{2\alpha^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi\alpha}}\quad$と計算できる。

$\,\bullet\,$続いて標的分子が分布関数に従う場合の相対速度$\,v_r’\,$を求める。
　速度が違う場合の$\,v_r=\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}\,$の式と分布関数$\,F(v)=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha v^2}dv\,$を使用する。
$\quad v_r’=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\left\{\di\int_0^v\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}v’^2\,e^{-\alpha v’^2}dv’+\di\int_v^{\infty}\dfrac{3v’^2+v^2}{3v’}v’^2\,e^{-\alpha v’^2}dv’\right\}$
　この計算は最終的にGauss関数(誤差関数)を含む以下の形になる。
$\quad v_r’=\dfrac{1}{\sqrt{\alpha\pi}}\left\{e^{-\alpha v^2}+\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}$

$\,\bullet\,$前項の結果を用いて、注目分子の速さの分布関数での相対距離$\,v_r\,$を求める。
$\quad v_r=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{\alpha\pi}}\di\int_0^{\infty}v^2e^{-\alpha v^2}\left\{e^{-\alpha v^2}+\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}dv$
$\qquad =\dfrac{4\alpha}{\pi}\left\{\di\int_0^{\infty}v^2e^{-2\alpha v^2}dv+\di\int_0^{\infty}v^2e^{-\alpha v^2}\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}dv$
　第一項の積分はガウス積分だが、第二項の計算は相当複雑である。最終結果は以下のようになる。

$\quad v_r=\sqrt{\dfrac{8}{\pi\alpha}}=4\sqrt{\dfrac{k_BT}{\pi m}}=\sqrt{2}\,\langle v\rangle\quad$のように、平均速さの$\,\sqrt{2}\,$倍になる。

2.宇宙流体での衝突

$\star\,$水素分子
　水素分子で考える。分子半径が$\,\,0.145\,$nm　なので、衝突断面積($\,\sigma\,$)は、
$\quad\sigma=4\pi r^2=26.45\times 10^{-16}$cm$^2\,$となる。
　分子質量$\,\,m\,\,$は$\,\,m=\dfrac{2}{N_A}=\dfrac{2}{6.02\times 10^{23}}=3.32\times 10^{-24}\,$g なので、速さ$\,\langle v\rangle\,$は、
$\quad\langle v\rangle =\sqrt{\dfrac{8k_BT}{\pi m}}=\sqrt{\dfrac{8\times 1.38\times 10^{-16}T}{\pi\times 3.32\times 10^{-24}}}=1.03\times 10^4\sqrt{T}\,$cm/s となる。

　相対速度$\,\,v_r\,\,$は$\quad v_r=\sqrt{2}\,\langle v\rangle=1.46\times 10^4\sqrt{T}\,\,$cm/s　である。
　ガス密度を$\,\rho\,$(g/cm$^3$)$\,$とすると、分子密度$\,n\,$は、$\,n=\rho/(2/N_A)=\rho\times 3.01\times 10^{24}\,$となる。
　緩和時間$\,\tau\,$(秒)は、$\,\tau=\dfrac{1}{n\sigma\,v_r}=\dfrac{1}{\rho\times 3.01\times 10^{24}\times 26.45\times 10^{-16}\times 1.46\times 10^4\sqrt{T}}$

　最終的に$\quad \tau=\dfrac{1}{1.16\times 10^{14}\,\rho\sqrt{T}}=\dfrac{1}{3.86\times 10^{-11}n\sqrt{T}}\,$(秒)

$\qquad =\dfrac{1}{3.86\times 10^{-11}n\sqrt{T}\times 3600\times\ 24 \times 365.25}=\dfrac{1}{1.22\times 10^{-3}n\sqrt{T}}\,\,$(年)$\quad$となる。

　星間雲$\quad \rho=10^{-22}\,$g cm$^{-3}\quad n=301\,\,$分子 cm$^{-3}\quad T=10\,$Kで考えると
$\quad\tau=\dfrac{1000}{1.22\times 301\times\sqrt{10}}=0.86\,\,$(年)　となる。

$\star\,$水素プラズマ
　電子の衝突は、電子の運動エネルギーとクーロンポテンシャルが同程度になる距離なので
$\quad \dfrac{1}{2}m_ev_e^2\,\,\sim\,\,\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_0}\quad\Longrightarrow\quad r_0\,\,\sim\,\,\dfrac{e^2}{2\pi\epsilon_0m_ev_e^2}\quad$となる。
　衝突断面積$\,\sigma\,$は$\quad\sigma=4\pi r_0^2\,\,\sim\,\,\dfrac{4\pi e^2}{4\pi^2\epsilon_0^4m_e^2v_e^4}\,\sim\,\dfrac{e^2}{\epsilon_0^2m_e^2v_e^4}$

　以降SI単位として計算する。$\,k_B\,:\,1.38\times 10^{-23}\,$JK$^{-1}\quad m_e\,:\,9.11\times 10^{-31}\,$kg
$\qquad e\,:\,1.60 \times 10^{-19}\,$C$\qquad \epsilon_0=8.85\times 10^{-12}$C$^2$N$^{-2}$m$^{-2}$
　電子の速さを$\,v_e=\sqrt{\dfrac{k_BT}{m_e}}\,$とすれば$\quad v_e=\sqrt{\dfrac{k_BT}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{1.38\times 10^{-23}T}{9.11\times 10^{-31}}}=3.89\times 10^3\sqrt{T}\,\,$

$\quad r_0=\dfrac{e^2}{2\pi\epsilon_0k_BT}=\dfrac{(1.60\times 10^{-19})^2}{2\pi\times 8.85\times 10^{-12}\times 1.38\times 10^{-23}T}=3.33\times 10^{-5}\dfrac{1}{T}\,$m　となる。

$\blacklozenge\,\,$どうもプラズマは、デバイ長やそれ以外の要素が大きいようで、単純な計算ではできないみたい。この検討はここまでとする。

◆ 参考文献

宇宙流体力学の基礎改訂版：福江純、和田桂一、梅村雅之(2022)、日本評論社
天体物理学の基礎 I：観山正見、野本憲一、二間瀬敏史(2010)、日本評論社
京大「エネルギー理工学設計演習・実験２(別冊)」
http://www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/people/ikuji/edu/vac/app-A/mfp.html
「14. 衝突頻度と平均自由行程」広島大学学術情報リポジトリ
https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/14983/files/40230

ロッシュポテンシャル

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

ロッシュポテンシャルとラグランジュ点

連星で、2つの成分星を$\,M_1,\,M_2\,$、星の重心間の距離を$\,a\,$とし、$M_1\,$星の重心を原点、2つの星の重心を結ぶ線を$\,x\,$軸、軌道面内に$\,y\,$軸とし、軌道は円軌道を仮定する。ここで任意の点$\,(x,y,z)\,$に働く力は2つの星の万有引力と遠心力の全ポテンシャル$\,\Psi\,$で表される。

$\quad\Psi=-G\dfrac{M_1}{r_1}-G\dfrac{M_2}{r_2}-\dfrac{\Omega^2}{2}\left\{\left(x-\dfrac{M_2a}{M_1+M_2}\right)^2+y^2\right\}\qquad\cdots\,$(1)
ここで

$\quad r_1^2=x^2+y^2+z^2\quad,\,\,r_2^2=(a-x)^2+y^2+z^2\qquad\cdots\,$(2)

ここで、$\psi(x,y,z)\,$を次のように定義する。

$\quad\dfrac{GM_1}{a}\psi(x,y,z)=\Psi\qquad\cdots\,$(3)

質量比$\,q=M_2/M_1\,$を使い、軌道面に限定して考えると

$\quad\psi=-\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{q}{r_2}-\dfrac{(1+q)(x^2+y^2)}{2}-\dfrac{q^2}{2(1+q)}\qquad\cdots\,$(4)

これを 3D サーフェス表示と等高線で表示する。

また、ラグランジュ点は式(4)を微分して、$\partial\psi/\partial x=0\,$とした以下の式から求められる

$\quad -\dfrac{x}{r_1^3}+\left(\dfrac{1-x}{r_2^3}-1\right)q+(1+q)x=0\qquad\cdots\,$(5)

$L_1\,$を求めるには、$r_1=x\,,\quad r_2=1-x\,\,$を代入して通分すると

$\quad -(1+q)x^5+(2+3q)x^4-(1+3q)x^3+x^2-2x+1=0\qquad\cdots\,$(6)

$L_2\,$を求めるには、$r_1=x\,,\quad r_2=x-1\,\,$を代入して通分すると

$\quad (1+q)x^5-(2+3q)x^4+(1+3q)x^3-(1+2q)x^2+2x-1=0\qquad\cdots\,$(7)

(6)、(7)式をニュートン法で解く。

Python の実行例は　地球－月系の計算結果である。

◆ 参考文献

W Ser型食連星はくちょう座V367星の測光ならびに分光観測：小木美奈子(2012)、岡山理科大学
LagrangePoint詳解-2: c Hiromu Nakagawa

In [16]:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import warnings
import sys
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')
mx  = 40
my  = 30
pot = np.zeros((my,mx))    # ポテンシャルの配列
aa  = np.zeros(6)          # 5次方程式の係数
xx  = np.linspace(-4.,4.,40)
yy  = np.linspace(-2.,4.,30)
X, Y = np.meshgrid(xx,yy)

def newton(x,a):    # 5次方程式をニュートン法で解く
    x1 = x   # 初期値
    for i in range(20):
        y1 = a[5]*x1**5 + a[4]*x1**4 + a[3]*x1**3 + a[2]*x1**2 + a[1]*x1 + a[0]
        y2 = 5.*a[5]*x1**4 + 4.*a[4]*x1**3 + 3.*a[3]*x1**2 + 2.*a[2]*x1 + a[1]
        if abs(y2) < 1.e-4:
            return 0
        dx = y1/y2
        if abs(dx) < 1.e-4:    # 差分が一定値以下なら
            return x1
        x1 = x1 -dx
    return x1

def poten(x,y,q):     # ロッシュポテンシャルを計算する
    r1 = x**2 + y**2
    r2 = (1.-x)**2 + y**2
    zz = 1./np.sqrt(r1) + q/np.sqrt(r2) + .5*(1.+q)*r1 -q*x + .5*q**2/(1+q)
    return -zz

q = float(input( '質量比( M2/M1) : '))
if q < 1.e-2 or q > 0.95:
    sys.exit()  # 入力エラーで終了

# ラグランジュ点の計算
aa[0] = 1
aa[1] = -2
aa[2] = 1
aa[3] = -1 - 3 * q
aa[4] = 2 + 3 * q
aa[5] = -1 - q
x1 = 0.5   # L1 の初期値
x2 = newton(x1,aa)
print('\n ---> L1 の座標：','{:.3f}'.format(x2),'   (伴星のX座標を1)')

aa[0] = -1
aa[1] = 2
aa[2] = -1 - 2 * q
aa[3] = 1 + 3 * q
aa[4] = -2 - 3 * q
aa[5] = 1 + q
x1 = 1.2   # L2 の初期値
x2 = newton(x1,aa)
print('\n ---> L2 の座標：','{:.3f}'.format(x2),'   (伴星のX座標を1)')

# ロッシュポテンシャルの計算
pot = poten(X, Y, q)

fig=plt.figure(figsize=(15, 10))
ax = plt.subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, pot, cmap='viridis')
ax.set_zlim(-30,0)
cs = ax.contourf(X,Y,pot,zdir='z',offset=-30, cmap='autumn')
plt.colorbar(cs)
plt.show()

質量比( M2/M1) : 0.0123

 ---> L1 の座標： 0.849    (伴星のX座標を1)

 ---> L2 の座標： 1.168    (伴星のX座標を1)

In [ ]:

角柱周りの流れ

Body-stream-4

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

角柱周りの流れ(SMAC法)

流路にブロックが置かれた条件で、流れの時間発展を計算します。

非圧縮性流体の解析で使用する方程式は以下の2式である。($\,\bm{f_B}\,$は重力や電磁力などの体積力である)

$\left\{\begin{array}{l}\nabla\cdot\bm{V}=0\hspace{20mm}\cdots\,(1)\\
\pdr{\bm{V}}{t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^2\bm{V}+\bm{f_B}\qquad\cdots\,(2)\end{array}\right.$

出口条件の$\,U_c\,$は出口断面の平均速度とし、入口速度$\,U_{in}\,$に等しい。また流れ方向の圧力勾配は$\,0\,$とする。この条件を前進オイラー法と1次風上差分により、離散化したのが次の式である。

$\left\{\begin{array}{l}u_{N_i\,,\,j}^{n+1}=u_{N_i\,,\,j}^n-U_c\dfrac{u_{N_i\,,\,j}^n-u_{N_i-1\,,\,j}^n}{\varDelta x}\varDelta t\hspace{20mm}\cdots\,(3)\\
v_{N_i+1\,,\,j}^{n+1}=v_{N_i+1\,,\,j}^n-U_c\dfrac{v_{N_i+1\,,\,j}^n-v_{N_i-1\,,\,j}^n}{\varDelta x}\varDelta t\hspace{20mm}\cdots\,(4)\\
p_{N_i\,,\,j}^{\,\prime}=p_{N_i\,,\,j}^{\,\prime}\hspace{20mm}\cdots\,(5)\end{array}\right.$

圧力に関し、流出境界で法線方向の勾配$\,0\,$とするため、圧力補正に関する境界条件が計算領域全周で勾配$\,0\,$のノイマン型となる。このため、計算領域全体での流入流量と流出流量が一致していないと、圧力補正に関するポアソン方程式

$\nabla^2p^{\,\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}\varDelta t}\nabla\cdot\bm{V}^*\hspace{20mm}\cdots\,(6)$

が破綻する。そこで断面平均速度$\,\bar{u}_i\,$を次の式で定義し、

$\bar{u}_i=\di\sum_{j=1}^{N_i}u_{i\,,\,j}\,\,/\,N_j\hspace{20mm}$出口速度を次のように修正する。$\hspace{20mm}u_{N_i\,,\,j}=\,u_{N_i\,,\,j}\,\dfrac{U_{in}}{\bar{u}_{N_i}}\hspace{20mm}\cdots\,(7)$

Re 数を $40$ と低めで設定し、時間刻み係数$\,C_n\,$を$\,0.1\,$とし、圧力補正のポアソン方程式は SOR法にて解法した。この緩和係数を 1.85 とした。静止状態から流入して時間 120 までの時間発展を計算した。ポアソン方程式の解法に、ほとんどの計算を費やすことになった。Cでコンパイルしたものは、20秒で計算終了したが、Python では 21時間必要であった。

◆ 参考文献

数値流体解析の基礎：肖鋒、長崎孝夫(2020)、コロナ社
流体力学第２版：杉山弘、遠藤剛、新井隆景(2014)、森北出版

In [5]:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import warnings
import time
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')

# -------  条件設定
ni = 250        # 分割数    X
nj = 50         #           Y
Lx = 25         # 計算領域のサイズ X
Ly = 5          #                  Y
Lb = 1          # ブロックの幅
Lx1 = 4         # 入口からブロックまでの距離
scheme =1       # 中心差分  cn=0.1   2: 風上 cn=0.5   3: ハイブリッド cn=0.5
cn = 0.1        # クーラン数 CFL 条件 < 1 scheme=1 の場合
re = 100.       # レイノルズ数
uin = 1.        # 流入速度
endtime = 120   # 処理終了時間
visc = 1. / re  # 粘度
flg = 1         # 処理フラッグ

dx = Lx / float(ni)       # セルの大きさ X
dy = Ly / float(nj)       #              Y
dxi = 1. / dx
dyi = 1. / dy
dxi2 = dxi * dxi
dyi2 = dyi * dyi
dt = cn / (uin * dxi + 2 * visc * (dxi2 + dyi2))   # 時間刻み

ni1 = int(Lx1 * dxi + 1e-6)               # ブロックまでのXセル数
ni2 = int((Lx1 + Lb) * dxi + 1e-6)          # ブロックの後端までのXセル数
nj1 = int((Ly / 2 - Lb / 2) * dyi + 1e-6)       # ブロック部分の通り道の上部セル数
nj2 = int((Ly / 2 + Lb / 2) * dyi + 1e-6)       #                       下部セル数

alpha = 1.85    # SOR法の緩和係数
eps = 1.e-6     # 繰り返し演算打ち切り誤差
vdx = visc * dxi
vdy = visc * dyi

# -------- 配列
u   = np.zeros((ni+2,nj+2))   # 流速    u
v   = np.zeros((ni+2,nj+2))   #         v
un  = np.zeros((ni+2,nj+2))   # 新流速  u
vn  = np.zeros((ni+2,nj+2))   #         v
p   = np.zeros((ni+2,nj+2))   # 圧力
pc  = np.zeros((ni+2,nj+2))   # 圧力補正
fe  = np.zeros((ni+2,nj+2))   # 検査体積右界面 流速
fn  = np.zeros((ni+2,nj+2))   #         上界面 流速
a_e  = np.zeros((ni+2,nj+2))  # ポアソン方程式係数東
a_w  = np.zeros((ni+2,nj+2))  #                   西
a_n  = np.zeros((ni+2,nj+2))  #                   北
a_s  = np.zeros((ni+2,nj+2))  #                   南
ap  = np.zeros((ni+2,nj+2))   #                   圧力
b   = np.zeros((ni+2,nj+2))   #                   div(u)
iu = np.zeros((ni+2,nj+2),dtype=np.int32)   # 処理フラッグ  u
iv = np.zeros((ni+2,nj+2),dtype=np.int32)   #               v
ip = np.zeros((ni+2,nj+2),dtype=np.int32)   #               p

# グラフ条件設定
nxh = ni // 5
nyh = nj // 5
uc = np.zeros((nyh,nxh))     # ベクトル表示用 u
vc = np.zeros((nyh,nxh))     # ベクトル表示用 v
x, y = np.meshgrid(np.linspace(0, Lx, nxh), np.linspace(0, Ly, nyh))
pd = np.zeros((nyh,nxh))     # 圧力表示用
xp, yp = np.meshgrid(np.linspace(0, Lx, nxh), np.linspace(0, Ly, nyh))

# -------- 初期設定
#
# 流れ u
for i in range(1,ni):
    for j in range(1,nj+1):
        iu[i][j] = flg  # 全体に flg 設定
for i in range(ni1,ni2+1):
    for j in range(nj1+1,nj2+1):
        iu[i][j] = 0    # ブロック部分は設定なし
# 流れ v
for i in range(1,ni+1):
    for j in range(1,nj):
        iv[i][j] = flg  # 全体に flg 設定
for i in range(ni1+1,ni2+1):
    for j in range(nj1,nj2+1):
        iv[i][j] = 0    # ブロック部分は設定なし
# 圧力 p
for i in range(1,ni+1):
    for j in range(1,nj+1):
        ip[i][j] = flg  # 全体にフラッグ設定
for i in range(ni1+1,ni2+1):
    for j in range(nj1+1,nj2+1):
        ip[i][j] = 0    # ブロック部分は設定なし

# 圧力ポアソン方程式の係数設定
for i in range(1,ni+1):
    for j in range(1,nj+1):
        a_w[i][j] = dxi2  # 西
        a_e[i][j] = dxi2  # 東
        a_s[i][j] = dyi2  # 南
        a_n[i][j] = dyi2  # 北
        ap[i][j]= (dxi2 + dyi2) * 2
        if j==1:  # 北側
            ap[i][j] = ap[i][j] - a_s[i][j]
            a_s[i][j] = 0
        if j==nj: # ブロックの上
            ap[i][j] = ap[i][j] - a_n[i][j]
            a_n[i][j] = 0
        if i==1:  # 入口 東側
            ap[i][j] = ap[i][j] - a_w[i][j]
            a_w[i][j] = 0
        if i==ni: # ブロックの西側
            ap[i][j] = ap[i][j] - a_e[i][j]
            a_e[i][j] = 0

# ブロックに隣接するセルの係数変更
for i in range(ni1+1,ni2+1):
    j = nj1
    ap[i][j] = ap[i][j] - a_n[i][j]
    a_n[i][j] = 0
    j = nj2+1
    ap[i][j] = ap[i][j] - a_s[i][j]
    a_s[i][j] = 0

for j in range(nj1+1,nj2+1):
    i = ni1
    ap[i][j] = ap[i][j] - a_e[i][j]
    a_e[i][j] = 0
    i = ni2+1
    ap[i][j] = ap[i][j] - a_w[i][j]
    a_w[i][j] = 0

# 流入境界の速度設定
for j in range(1,nj+1):
    u[0][j] = uin
    un[0][j] = uin

# 初期速度場
for i in range(1,ni):
    for j in range(1,nj+1):
        if iu[i][j] == flg:
            if i >= ni1 and i<= ni2:
                u[i][j] = uin * Ly / (Ly - Lb)
            else:
                u[i][j] = uin
for j in range(1,nj+1):
    u[ni][j] = uin  #  出口の流速
print("* 条件")
print("ni1 :",ni1,"  ni2: ",ni2,"  nj1: ",nj1,"  nj2: ",nj2)

st_time=time.time()
old_time=st_time

# ----------- 時間前進 計算ループ  -------------------------
n = 0
lp_time = 0

while lp_time <= endtime:  # 制限時間内か

    n = n + 1
    lp_time = lp_time + dt

# -- 境界条件
    for i in range(1,ni+1):
        u[i][0] = u[i][1]       # 下境界 du/dy=0
        u[i][nj+1] = u[i][nj]   # 上境界 du/dy=0

    for j in range(1,nj+1):
        v[0][j]= -v[1][j]       # 左境界 v=0
        p[ni+1][j] = p[ni][j]   # 右境界 dp/dx=0

# -- NS方程式： n+1 の仮速度算出

# un
    for i in range(ni+1):       # 流れ U
        for j in range(nj+1):
            u0 = (u[i][j] + u[i+1][j]) / 2
            v0 = (v[i][j] + v[i+1][j]) / 2

            if scheme == 1:

            # 中心差分
                fe[i][j] = u0 * (u[i+1][j] + u[i][j]) / 2 \
                            - vdx * (u[i+1][j] - u[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (u[i][j+1] + u[i][j]) / 2 \
                            - vdy * (u[i][j+1] - u[i][j])

            elif schema == 2:
            # 一次風上差分
                fe[i][j] = u0 * (u[i+1][j] + u[i][j]) / 2 \
                            - (vdx + abs(u0)/2) * (u[i+1][j] - u[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (u[i][j+1] + u[i][j]) / 2 \
                            - (vdy + abs(v0)/2) * (u[i][j+1] - u[i][j])

            else:
            # ハイブリッド
                fe[i][j] = u0 * (u[i+1][j] + u[i][j]) / 2 \
                            - max(vdx, abs(u0)/2) * (u[i+1][j] - u[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (u[i][j+1] + u[i][j]) / 2 \
                            - max(vdy, abs(v0)/2) * (u[i][j+1] - u[i][j])


# -- 角柱の上下面の処理
    for i in range(ni1,ni2+1):
        fn[i][nj1] =  vdy * 2 * u[i][nj1]
        fn[i][nj2] = -vdy * 2 * u[i][nj2+1]

# -- 次の時刻の流れ un
    for i in range(1,ni+1):
        for j in range(1,nj+1):
            if iu[i][j] == flg:
                dudt = (fe[i-1][j] - fe[i][j]) * dxi \
                            + (fn[i][j-1] - fn[i][j]) * dyi
                un[i][j] = u[i][j] + dudt * dt \
                            + (p[i][j] - p[i+1][j]) * dxi * dt

# vn
    for i in range(ni+1):       # 流れ V
        for j in range(nj):
            u0 = (u[i][j] + u[i][j+1]) / 2
            v0 = (v[i][j] + v[i][j+1]) / 2

            if scheme == 1:

            # 中心差分
                fe[i][j] = u0 * (v[i+1][j] + v[i][j]) / 2 \
                            - vdx * (v[i+1][j] - v[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (v[i][j+1] + v[i][j]) / 2 \
                            - vdy * (v[i][j+1] - v[i][j])

            elif schema == 2:
            # 一次風上差分
                fe[i][j] = u0 * (v[i+1][j] + v[i][j]) / 2 \
                            - (vdx + abs(u0)/2) * (v[i+1][j] - v[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (v[i][j+1] + v[i][j]) / 2 \
                            - (vdy + abs(v0)/2) * (v[i][j+1] - v[i][j])

            else:
            # ハイブリッド
                fe[i][j] = u0 * (v[i+1][j] + v[i][j]) / 2 \
                            - max(vdx, abs(u0)/2) * (v[i+1][j] - v[i][j])
                fn[i][j] = v0 * (v[i][j+1] + v[i][j]) / 2 \
                            - max(vdy, abs(v0)/2) * (v[i][j+1] - v[i][j])

# -- 角柱の上下面の処理
    for j in range(nj1,nj2+1):
        fe[ni1][j] =  vdx * 2 * v[ni1][j]
        fe[ni2][j] = -vdx * 2 * v[ni2+1][j]

# -- 次の時刻の値 vn
    for i in range(1,ni+1):
        for j in range(1,nj):
            if iv[i][j] == flg:
                dvdt = (fe[i-1][j] - fe[i][j]) * dxi \
                            + (fn[i][j-1] - fn[i][j]) * dyi
                vn[i][j] = v[i][j] + dvdt * dt \
                            + (p[i][j] - p[i][j+1]) * dyi * dt

# -- 流出境界の速度 u
    umean = 0
    for j in range(1,nj+1):
        un[ni][j] = u[ni][j] - uin * (u[ni][j] - u[ni-1][j]) * dxi * dt
        umean += un[ni][j]

    umean = umean / nj
    for j in range(1,nj+1):
        if umean != 0:
            un[ni][j] = un[ni][j] / umean * uin
        else:
            un[ni][j] += uin

# -- 速度の発散 div
    for i in range(1,ni+1):
        for j in range(1,nj+1):
            b[i][j] = -((un[i][j] - un[i-1][j]) * dxi \
                            + (vn[i][j] - vn[i][j-1]) * dyi) / dt
            pc[i][j] = 0    # 圧力補正クリア


# -- 圧力補正の計算 ( SOR 法 )

    for iter in range(1,10001):
        err = 0
        for i in range(1,ni+1):
            for j in range(1,nj+1):
                if ip[i][j] == flg:
                    pcn = (a_w[i][j] * pc[i-1][j] + a_e[i][j] * pc[i+1][j] \
                            + a_s[i][j] * pc[i][j-1] + a_n[i][j] * pc[i][j+1] + b[i][j]) / ap[i][j]
                    err = max(err, abs(pcn - pc[i][j]))
                    pc[i][j] = pc[i][j] + alpha * (pcn - pc[i][j])

        if err < eps:
            break


# -- 速度、圧力を修正し、前の値を更新する
    dvmax = 0.
    for i in range(1,ni+1):
        for j in range(1,nj+1):
            vold = v[i][j]
            if iu[i][j] == flg:
                u[i][j] = un[i][j] + (pc[i][j] - pc[i+1][j]) * dxi * dt
            if iv[i][j] == flg:
                v[i][j] = vn[i][j] + (pc[i][j] - pc[i][j+1]) * dyi * dt
            p[i][j] = p[i][j] + pc[i][j]
            dvmax = max(dvmax, abs(v[i][j]-vold))

# -- 流出境界速度
    for j in range(1,nj):
        v[ni+1][j] = v[ni+1][j] - uin * (v[ni+1][j] - v[ni][j]) * dxi *dt

    for j in range(1,nj+1):
        u[ni][j] = un[ni][j]
        
# -- 途中結果の表示
    if n % 200 == 0 or lp_time >= endtime:
#    if n < 5:
        now_time=time.time()
        cal_time=now_time-st_time
        d_time=now_time-old_time
        old_time=now_time
        print("n=",n,"  time=",'{:.2f}'.format(lp_time),"  cal_time(sec)=",'{:.1f}'.format(cal_time),"  sprit(sec)=",'{:.1f}'.format(d_time),"  iter=",iter,"  err=",'{:.3e}'.format(err), "  dvmax=",'{:.3e}'.format(err) )

# -- グラフ表示
    if n % 1000 == 0 or lp_time >= endtime:
#    if n < 5:
        for j in range(nyh):      # V 速度ベクトル
            my = j * 5
            for i in range(nxh):  # U
                mx = i * 5
                uc[j][i]=(u[mx+1][my+1]+u[mx+2][my+1])/2.  # セルの中心
                vc[j][i]=(v[mx+1][my+1]+v[mx+1][my+2])/2.
                pd[j][i]=(p[mx+1][my+1]+p[mx+2][my+2])/2.
         
        plt.figure(figsize=(15,3))
        plt.xlabel("x",fontsize=15)
        plt.ylabel("y",fontsize=15)
        plt.title("流れ",fontsize=20)
        plt.quiver(x,y,uc,vc,color='blue',scale=80,headwidth=4,headaxislength=4,width=0.0015)
        plt.show()
  
        plt.figure(figsize=(14.3,3))
        plt.xlabel("x",fontsize=15)
        plt.ylabel("y",fontsize=15)
        plt.title("流線",fontsize=20)
        plt.streamplot(x, y, uc, vc, density=3, color='k', arrowstyle='-', linewidth=0.6)
        plt.show()

        plt.figure(figsize=(14.3,3.8))
        plt.xlabel("x",fontsize=15)   
        plt.ylabel("y",fontsize=15)
        plt.title("'圧力",fontsize=20)
        cont=plt.contourf(xp, yp, pd, cmap='jet')
#        plt.colorbar(cont, orientation='horizontal')
        plt.colorbar(aspect=40, pad=0.08, shrink=1.0,orientation='horizontal', extend='both')
        plt.show()
 

拡大流れ_SMAC法

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

拡大流れ　(SMAC法)

非圧縮性流体の解析で使用する方程式は以下の2式である。($\,\bm{f_B}\,$は重力や電磁力などの体積力である)

ここで(2)式を時刻について差分化して、仮の速度場$\,\bm{V}^{\,*}\,$を求める。

$\quad\dfrac{\bm{V}^{\,*}-\bm{V}}{\Delta t}=-(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^2\bm{V}+\bm{f_B}\qquad\cdots\,(3)$

この速度場$\,\bm{V}^{\,*}\,$は連続の式((1)式)を満足していないので、速度と圧力を補正して時間発展を求める。

$\quad \bm{V}^{\,n+1}=\bm{V}^{\,*}+\bm{V}^{\,\prime}\quad,\qquad p^{\,n+1}=p^{\,n}+p^{\,\prime}\qquad\cdots\,(4)$

この(4)式を(1),(2)式に代入して、式(3)を考慮すると以下の式が得られる。

$\left\{\begin{array}{l}\nabla\cdot\bm{V}^{\,\prime}=-\nabla\cdot\bm{V}^{\,*}\hspace{18mm}\cdots\,(5)\\
\dfrac{\bm{V}^{\prime}}{\Delta t}=-\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\nabla p^{\,\prime}\hspace{24mm}\cdots\,(6)\end{array}\right.$

(6)式を(5)式に代入すると圧力補正$\,p^{\,\prime}\,$に対するポアソン方程式が得られる。

$\quad\nabla^2 p^{\,\prime}=\dfrac{\mathrm{Re}}{\Delta t}\,\nabla\cdot\bm{V}^{\,*}\qquad\cdots\,(7)$

◆ 手順

１．式(3)を使って$\,\bm{V}^{\,*}\,$を求める
２．求めた$\,\bm{V}^{\,*}\,$から式(7)をSOR法で解いて、$p^{\,\prime}$を求める
３．式(6)を使って、$\bm{V}^{\,\prime}\,$を求める
４．式(4)を用いて、$p^{\,n+1}\,,\,\bm{V}^{\,n+1}\,$を求める

◆ 問題
図のような流路を考える。

計算領域は高さ$\,L_y$、横幅$\,L_x\,$の横長の長方形であり、左境界の上半分の部分($\,x=0\,,\,L_y\,/\,2\ge y\ge L_y\,$)から流体が流入し、右境界から流出する。
メッシュはスタガード格子を用いて解く。

◆ 境界条件
・流入境界
入口の外側($\,i=0\,$のセル)では、$u_{0,j}=U_{in}\,\,,\,v_{0,j}=2V_{in}-v_{1,j}\,\,,\,p^{\,\prime}_{0,j}=p^{\,\prime}_{1,j}\,$となる。
圧力補正値$\,p^{\,\prime}\,$の境界条件は法線方向の勾配$\,0\,$のノイマン条件となる。
・流出境界
出口の外側($\,i=N_i+1\,$のセル)では、各速度成分および物理量が移流によってスムーズに流出すると考え、境界法線方向の勾配を$\,0\,$とすると、$\,u_{N_i+1,j}=u_{N_i,j}\,\,,\,v_{N_i+1,j}=v_{N_i,j}\,$となる。
また、流出境界で断面内の圧力が一様で一定値と見なせるとし、その出口圧力$\,P_{out}\,$を与える。条件は
$\quad p^{\,\prime}_{N_i+1,j}=p^{\,\prime}_{N_i,j}\,\,,\,p_{N_i+1,j}=2P_{out}-p_{N_i,j}\,$となる。

◆ 計算結果
$\quad L_y=1\,\,,\,L_x=5\,\,,\,U_{in}=2\,\,,\,V_{in}=0\,\,,\,P_{out}=0\,$で、格子を$\,65\,\times\,13\,$で分割した結果を示す。
一番目は流れのベクトルプロットである。入口部分に剥離領域が生じているのが解る。次が圧力と流線である。３番目に横方向の$\,4/5\,$の位置の断面の流速分布である。流入流速で正規化してあるので、平均流速は$\,1/2\,$となっている。

◆ 参考文献

数値流体解析の基礎：肖鋒、長崎孝夫(2020)、コロナ社
流体力学第２版：杉山弘、遠藤剛、新井隆景(2014)、森北出版

In [2]:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
#from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import japanize_matplotlib
# 事前に  > pip install japanize_matplotlib が必要

import warnings
# 警告非表示
#warnings.simplefilter('ignore')

# 条件設定
Lx = 5.
Ly = 1.
nx = 65      # 分割数 X
ny = 13      # 分割数 Y
dx = Lx / float(nx)  # 格子サイズ X
dy = Ly / float(ny)  # 格子サイズ Y
re = 150     # レイノルズ数
vis = 1./re  # 動粘性係数
idx = 1./dx
idy = 1./dy
dx2 = dx * dx
dy2 = dy * dy
idx2 = 1./ dx2
idy2 = 1./ dy2
uin = 2.     # 流入速度
cn = 0.4     # 時間刻み係数
eps= 1.e-6   # SORの収束判定基準
alp = 1.8    # SORの加速係数
nx1 = nx+1
ny1 = ny+1
nx2 = nx+2
ny2 = ny+2
ja = ny // 2    # 入口のサイズ
dt = cn/(uin/dx+2.*vis*(idx2+idy2))   # 時間刻み

# 配列
u  = np.zeros((ny2,nx2))   # 流れ x方向成分 u
v  = np.zeros((ny2,nx2))   # 流れ y方向成分 v
p  = np.zeros((ny2,nx2))   # 圧力
pc = np.zeros((ny2,nx2))   # 圧力補正
un = np.zeros((ny2,nx2))   # 流れ更新分 u
vn = np.zeros((ny2,nx2))   # 流れ更新分 v
fe = np.zeros((ny2,nx2))   # 検査体積の右界面の流速
fn = np.zeros((ny2,nx2))   # 検査体積の上界面の流速

# グラフ条件設定
nxh = nx // 2
nxx = nx // 5 * 2
uc = np.zeros((ny,nxh))     # ベクトル表示用 u
vc = np.zeros((ny,nxh))     # ベクトル表示用 v
x, y = np.meshgrid(np.linspace(0, Lx, nxh), np.linspace(0, Ly, ny))
pd = np.zeros((ny,nx))     # 圧力表示用
xp, yp = np.meshgrid(np.linspace(0, Lx, nx), np.linspace(0, Ly, ny))
uu = np.zeros(ny)

# 圧力ポアソン方程式の係数
a_e = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 east
a_w = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 west
a_n = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 north
a_s = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 south
a_p = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 圧力
b  = np.zeros((ny2,nx2))   # 方程式の係数 div V

for j in range(1,ny1):
    for i in range(1,nx1):
        a_w[j][i]=idx2
        a_e[j][i]=idx2
        a_s[j][i]=idy2
        a_n[j][i]=idy2
        a_p[j][i]=2.*(idx2+idy2)
        if j==1:
            a_p[j][i]=a_p[j][i]-a_s[j][i]
            a_s[j][i]=0
        if j==ny:
            a_p[j][i]-a_p[j][i]-a_n[j][i]
            a_n[j][i]=0
        if i==1:
            a_p[j][i]=a_p[j][i]-a_w[j][i]
            a_w[j][i]=0
        if i==nx:
            a_p[j][i]-a_p[j][i]-a_e[j][i]
            a_e[j][i]=0

# 流入口の流れ設定
for j in range(ja+1,ny1):
    u[j][0]=uin     # 流入
    un[j][0]=uin    # 流れ更新分も設定

#
# 計算ループ
#
nt = 120     # 計算ループ回数
time = 0.

for n in range(1,nt+1):

#　境界条件設定

    for i in range(nx1):  # 境界条件 上下
        u[0][i] = -u[1][i]        # 下 u=0
        u[ny1][i] = -u[ny][i]     # 上 u=0
                  
    for j in range(ny1):  # 境界条件 左右
        v[j][0] = -v[j][1]        # 左 v=0
        u[j][nx1] = u[j][nx]      # 右 du/dx=0
        v[j][nx1] = v[j][nx]      #    dv/dx=0
        p[j][nx1] = -p[j][nx]     #    p=0

#　仮の 流速 V* の計算

    for j in range(ny1):   # 流束 u
        for i in range(nx1):
            u1 = (u[j][i]+u[j][i+1])/2.
            v1 = (v[j][i]+v[j][i+1])/2.
            fe[j][i] = u1*(u[j][i+1]+u[j][i])/2.-vis*idx*(u[j][i+1]-u[j][i])
            fn[j][i] = v1*(u[j+1][i]+u[j][i])/2.-vis*idy*(u[j+1][i]-u[j][i])

    for j in range(1,ny1): # u の時間発展
        for i in range(1,nx1):
            dp = (p[j][i]-p[j][i+1])*idx
            dudt=(fe[j][i-1]-fe[j][i])*idx+(fn[j-1][i]-fn[j][i])*idy+dp
            un[j][i]=u[j][i]+dudt*dt

    for j in range(ny):    # 流束 v
        for i in range(nx1):
            u1 = (u[j][i]+u[j+1][i])/2.
            v1 = (v[j][i]+v[j+1][i])/2.
            fe[j][i] = u1*(v[j][i+1]+v[j][i])/2.-vis*idx*(v[j][i+1]-v[j][i])
            fn[j][i] = v1*(v[j+1][i]+v[j][i])/2.-vis*idy*(v[j+1][i]-v[j][i])

    for j in range(1,ny):   # v の時間発展
        for i in range(1,nx1):
            dp = (p[j][i]-p[j+1][i])*idy
            dvdt=(fe[j][i-1]-fe[j][i])*idx+(fn[j-1][i]-fn[j][i])*idy+dp
            vn[j][i]=v[j][i]+dvdt*dt

    for j in range(1,ny1):   # div V の計算
        for i in range(1,nx1):
            b[j][i]=-((un[j][i]-un[j][i-1])*idx+(vn[j][i]-vn[j-1][i])*idy)/dt
            pc[j][i]=0

#　圧力のポアソン方程式の計算 ( SOR法 )

    for itx in range(1000):
        err=0
        for i in range(1,nx1):
            for j in range(1,ny1):
                a1=a_w[j][i]*pc[j][i-1]+a_e[j][i]*pc[j][i+1]
                a2=a_s[j][i]*pc[j-1][i]+a_n[j][i]*pc[j+1][i]
                pcnew=(a1+a2+b[j][i])/a_p[j][i]
                err1=np.abs(pcnew-pc[j][i])
                pc[j][i]=pc[j][i]+alp*(pcnew-pc[j][i])
                if err1 > err:
                    err=err1
                continue
        if err < eps:
               break
        continue

# V と 圧力の更新
    for j in range(1,ny1):
        for i in range(1,nx1):
            u[j][i]=un[j][i]+(pc[j][i]-pc[j][i+1])*idx*dt
            if j != ny:
                v[j][i]=vn[j][i]+(pc[j][i]-pc[j+1][i])*idy*dt
            p[j][i]=p[j][i]+pc[j][i]

    time=time + dt

# 結果の表示
print("n=",n,"   time=",'{:.2f}'.format(time),"   itx=",itx,"  err=",'{:.2e}'.format(err))

for j in range(ny):   # V 速度ベクトル
    for i in range(nxh):  # x 方向の表示は半分に
        m = i*2
        uc[j][i]=(u[j+1][m+1]+u[j+1][m])/2.  # セルの中心
        vc[j][i]=(v[j+1][m+1]+v[j][m+1])/2.

for j in range(ny):   # 圧力
    for i in range(nx):
        pd[j][i]=p[j+1][i+1]

for j in range(ny):
    uu[j]=uc[j][nxx]/uin

# グラフ表示
fig=plt.figure(figsize=(12,4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set(xlabel='x',ylabel='y')
ax1.set_title('流れ',fontsize=20)
ax1.quiver(x,y,uc,vc,color='blue',scale=80,headwidth=4,headaxislength=4,width=0.0015)
plt.show()

fig=plt.figure(figsize=(12,4))
ax2 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax2.set(xlabel='x',ylabel='y')
ax2.set_title('圧力',fontsize=20)
ax2.contourf(xp, yp, pd, cmap='cool')
ax2.streamplot(x,y,uc,vc,color='k',density=0.5,linewidth=1)
plt.show()

plt.figure(figsize=(5,5))
plt.title('流れの速度 at Lx = 4',fontsize=20)
plt.ylabel('速度(入口比)',fontsize=16)
plt.xlabel('縦方向',fontsize=16)
plt.plot(uu)
plt.show()

n= 120    time= 1.57    itx= 149   err= 9.44e-07

In [ ]:

円柱まわりの低レイノルズ数流れ

円柱まわりの低レイノルズ数流れ(渦度法)

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

円柱まわりの低レイノルズ数流れ　(渦度法)

広い領域に置かれた円柱(無限の高さ)の軸に垂直に一様流が当たっている。
この場合の流れを、非定常の方程式を定常になるまで解くことによって解く。
円柱から遠ざかるほど、流れは一様流に近づき変化は少なくなるので、格子は粗くてよい。

したがって、座標軸の動径方向に$ \,r=e^{\,\xi}\,$という変換を施した。

メッシュは左図のようになる。

返還式は次のようになる。

$\quad\left\{\begin{array}{l}x=e^{\,\xi}\cos\theta\\
y=e^{\,\xi}\sin\theta\qquad\cdots\,(1)\end{array}\right.$

極座標の$\,\theta=0\,$の方向から一様流が当たるとするので、図の右からとなる。

式(1)から流れ関数-渦度法の基礎方程式は

$\quad\left\{\begin{array}{l}\ppdr{\phi}{\xi^2}+\ppdr{\phi}{\theta^2}=-\omega\,e^{\,2\xi}\hspace{75mm}\cdots\,(2)\\
\pdr{\omega}{t}+e^{-2\xi}\left(\pdr{\phi}{\theta}\,\pdr{\omega}{\xi}-\pdr{\phi}{\xi}\,\pdr{\omega}{\theta}\right)=\dfrac{e^{-2\xi}}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{\omega}{\xi^2}+\ppdr{\omega}{\theta^2}\right)\qquad\cdots\,(3)\end{array}\right.$
ここで、$\omega\,,\,\phi\,$は以下のように定義される。

$\quad\omega=\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\quad\cdots\,(4)\qquad u=\pdr{\phi}{y}\quad\cdots\,(5)\qquad v=-\pdr{\phi}{x}\quad\cdots\,(6)$

この関係から、流れ関数と極座標における速度成分関係式が導かれる。

$\quad\left\{\begin{array}{l}v_r=\dfrac{1}{r}\,\pdr{\phi}{\theta}=e^{-\,\xi}\pdr{\phi}{\theta}\hspace{20mm}\cdots\,(7)\\
v_{\theta}=-\pdr{\phi}{r}=-e^{-\,\xi}\pdr{\phi}{\xi}\hspace{18mm}\cdots\,(8)\end{array}\right.$

◆ 計算
計算では、極座標の $0\,\le\theta\,\lt\,\pi\,$の範囲で計算し、反対側は$\,x\,$軸で折り返す形でコピーする事とする。

・流れ関数の境界条件

$\quad\phi=0\hspace{30mm}$(対称線、円柱上)

$\quad\phi=y=e^{\,\xi}\sin\theta\hspace{25mm}$(遠方)

・渦度の境界条件

$\quad\omega=0\hspace{30mm}$(遠方、対称線)

$\quad\omega=-e^{-2\,\xi}\ppdr{\phi}{\xi^2}\quad\to\quad \omega_0=-2\phi_P\,/\,(\Delta\xi)^2\qquad$(円柱上)

・初期条件

$\quad\left\{\begin{array}{l}\phi=(r-(1/r))\sin\theta=(e^{\,\xi}-e^{-\,\xi})\sin\theta\\
\omega=0\end{array}\right.\hspace{40mm}$(全域)

◆ 参考文献

流体解析の基礎：河村哲也(2014)、朝倉書店

In [12]:

# 円柱まわりの低レイノルズ数流れ(渦度法)
#
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import warnings
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')

# -------  条件設定
na = 40
ny = 42
nx = na * 2
nxc = na-1
nyc = ny-1
re = 40.        # レイノルズ数
r1 = 1./re
dy = 0.05       # 半径の刻み幅
dt = 0.01       # 時間刻み
td = 1./dt
lmax = 2000     # 繰り返し計算回数
km = 40         # SOR法の最大反復回数
const = 1.0     # SOR法の加速係数
eps = 0.0001    # 繰り返し演算打ち切り誤差

dx = np.pi/float(na)
dxi = 1./dx
dyi = 1./dy
dx2 = dxi*dxi
dy2 = dyi*dyi
fct = .5/(dx2+dy2)

# ---------  配列初期化
psi=np.zeros((ny,na))  # ψ
omg=np.zeros((ny,na))  # ω
tmp=np.zeros((ny,na))  # ωバックアップ
u=np.zeros((ny,nx))    # 流速 u
v=np.zeros((ny,nx))    # 流速 v
omgd=np.zeros((ny,nx)) # ω表示用

# -------- 極座標
th = np.linspace(0, 2*np.pi,nx)
r = np.zeros(ny)
for j in range(nyc):
    r[j+1]=np.exp(j*dy)
TH,R=np.meshgrid(th,r)

#print("th",th)
#print("r=",r)

# --- 初期条件
for i in range(na):  # r 方向の最内側は円筒部分
    psi[0][i]=0
    omg[0][i]=0
    u[0][i]=0
    v[0][i]=0

for j in range(1,ny):
    for i in range(na):
        psi[j][i]=r[j]*np.sin(th[i])   # 遠方  e^ξ sin θ

# ----- 【　メインループ　】------
#

for l in range(1,lmax+1):
    fff=(l-1)/30.
    if fff>= 1.:
        fff=1.

    # STEP 1   境界条件
    for i in range(na):
        omg[1][i]=-2.*psi[2][i]*dy2*fff  # 円筒上
        psi[1][i]=0.                      # φ=0
    
    for i in range(na):
        psi[nyc][i]=r[nyc]*np.sin(th[i]) # 遠方
        omg[nyc][i]=0.
    
    for j in range(ny):                  # 対称線上
        psi[j][0]=0.
        omg[j][0]=0.
        psi[j][nxc]=0.
        omg[j][nxc]=0.
    
    # STEP2 ポアソン方程式を解いて ψ を求める
    
    for k in range(1,km):
        err=0.
        for j in range(2,nyc):
            for i in range(1,nxc):
                psx2=(psi[j][i+1]+psi[j][i-1])*dx2
                psy2=(psi[j+1][i]+psi[j-1][i])*dy2
                rhs=(psx2+psy2+omg[j][i]*np.exp(2.*j*dy))*fct
                err=err+(rhs-psi[j][i])*(rhs-psi[j][i])
                psi[j][i]=psi[j][i]*(1.-const)+rhs*const
        if err < 0.00001:
                break;

    # STEP3 ω の時間発展を求める
    for j in range(2,nyc):
        for i in range(1,nxc):
            tmp[j][i]=omg[j][i]
            
            omx2=(omg[j][i+1]-2.*omg[j][i]+omg[j][i-1])*dx2
            omy2=(omg[j+1][i]-2.*omg[j][i]+omg[j-1][i])*dy2
            psx=(psi[j][i+1]-psi[j][i-1])*.5*dxi
            psy=(psi[j+1][i]-psi[j-1][i])*.5*dyi
            omx=(omg[j][i+1]-omg[j][i-1])*.5*dxi
            omy=(omg[j+1][i]-omg[j-1][i])*.5*dyi
            rhs=((omx2+omy2)*r1+psx*omy-psy*omx)*np.exp(-2.*j*dy)
            omg[j][i]=omg[j][i]+dt*rhs
    
    # STEP4 誤差のチェック
    err1=0.
    for j in range(2,nyc):
        for i in range(1,nxc):
            bb = np.abs(omg[j][i]-tmp[j][i])
            if bb>=err1:
                err1=bb

    if l>10 and err1<=eps:
        break;

# 結果の表示
print( "loop=",l,"(time=",l*dt,")    err1=",'{:.2e}'.format(err1))
for j in range(2,nyc):
    for i in range(1,nxc):
#        vth=-(psi[j][i+1]-psi[j][i-1])*.5*dxi/r[j]
        vth=-(psi[j][i+1]-psi[j][i-1])*.5*dxi/r[j]+np.pi
        vrs=(psi[j+1][i]-psi[j-1][i])*.5*dyi/r[j]
        vth2=2.*np.pi-vth
        u[j][i]=vrs*np.cos(vth)
        u[j][nx-i]=vrs*np.cos(vth2)
        v[j][i]=vrs*np.sin(vth)
        v[j][nx-i]=vrs*np.sin(vth2)
        omgd[j][i]=omg[j][i]
        omgd[j][nx-i]=omg[j][i]

fig=plt.figure(figsize=(10,10))
ax1 = plt.subplot(111, polar=True) 
ax1.set_title('流れ',fontsize=25)
ax1.quiver(TH,R,u,v,color='blue') 
ax1.axis('off')
plt.show() 
fig=plt.figure(figsize=(10,10))
ax2 = plt.subplot(111, polar=True) 
ax2.set_title('ω(渦度)',fontsize=26)
#ax2.contourf(TH,R,omgd,cmap='autumn_r')
ax2.contourf(TH,R,omgd,cmap='PuBu_r')
ax2.axis('off')
plt.show() 

loop= 2000 (time= 20.0 )    err1= 2.67e-04

In [ ]:

室内気流の自然対流(渦度法)

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

室内気流の自然対流

自然対流では運動方程式に浮力(重力)による外力が加わる。

$\quad\pdr{\bm{V}}{t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\dfrac{1}{\rho}\nabla\bm{V}+\dfrac{\mu}{\rho}\Delta\bm{V}+\bm{g}\qquad\cdots\,(1)$

２次元問題として考える。重力の方向を$\,y\,$方向下方にとる。温度$\,T\,$、熱量$\,Q\,$を無次元化すると以下の方程式が得られる。

$\left\{\begin{array}{l}\pdr{u}{x}+\pdr{v}{y}=0\hspace{86mm}\cdots\,(2)\\
\pdr{u}{t}+u\,\pdr{u}{x}+v\,\pdr{u}{y}=-\pdr{p}{x}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{u}{x^2}+\ppdr{u}{y^2}\right)\hspace{23mm}\cdots\,(3)\\
\pdr{v}{t}+u\,\pdr{v}{x}+v\,\pdr{v}{y}=-\pdr{p}{y}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{v}{x^2}+\ppdr{v}{y^2}\right)+\dfrac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2}\,T\hspace{6mm}\cdots\,(4)\\
\pdr{T}{t}+u\,\pdr{T}{x}+v\,\pdr{T}{y}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}\left(\ppdr{T}{x^2}+\ppdr{T}{y^2}\right)+Q\hspace{21mm}\cdots\,(5)
\end{array}\right.$

ここで、$\mathrm{Gr}\,,\,\mathrm{Pr}\,$はそれぞれグラスホフ数、プラントル数と呼ばれる無次元数である。（流れ関係特性値参照）
ここに、『渦度法』を適用すると、

$\left\{\begin{array}{l}\ppdr{\phi}{x^2}+\ppdr{\phi}{y^2}=-\omega\hspace{80mm}\cdots\,(6)\\
\pdr{\omega}{t}+\pdr{\phi}{y}\,\pdr{\omega}{x}-\pdr{\phi}{x}\,\pdr{\omega}{y}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{\omega}{x^2}+\ppdr{\omega}{y^2}\right)+\dfrac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2}\,\pdr{T}{x}\hspace{5mm}\cdots\,(7)\\
\pdr{T}{t}+\pdr{\phi}{y}\,\pdr{T}{x}-\pdr{\phi}{x}\,\pdr{T}{y}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}\left(\ppdr{T}{x^2}+\ppdr{T}{y^2}\right)\hspace{24mm}\cdots\,(8)\end{array}\right.$

ここで、$\omega\,\,,\,\phi\,$は、渦度および流れ関数で、次式で定義される。

$\quad\omega=\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\quad ,\qquad u=\pdr{\phi}{y}\quad ,\qquad v=-\pdr{\phi}{x}\qquad\cdots\,(9)$

◆ 計算モデル

以下のような条件を設定する。

左図のような矩形領域で、FA が入口、DC が出口である。メッシュは右図のような周辺部の分割が細かい不均等格子とする。

境界条件

流れ

$\quad \phi=\di\int_{y_A}^y\,u\,dy\qquad $として$\quad u=1\,$とすると$\quad \phi=y-y_A\quad$(AF上)となる。

$\quad$ここで、壁面 DEF と ABC の流れ関数の差を$\,q\,$とすると、$\,q=y_F-y_A\,$となる。

$\quad$CD上での$\,y\,$方向速度$\,v=0\,$と仮定すると、$\phi_P=\phi_Q\,$(CD上)　という条件となる。

$\quad$流入口 AF で渦なし一様流が流入するとすると$\quad\omega=0\,$。

$\quad$流出条件としては一応このような条件を設定する。$\quad\omega_P=\omega_Q$

温度

$\quad T=T_{wall}\,\,$(BC上)とし、$\partial T/\partial x=0\,\,\,$(AB,DE上)、$\partial t/\partial y=0\,\,\,$(CD上)

$\quad t=T_0\,\,$(AF上)、$\partial t/\partial x=0\,\,\,$(CD上)および、$\,T_P=T_Q\,$の条件とする。

◆ 参考文献

流体解析の基礎：河村哲也(2014)、朝倉書店
流体力学第２版：杉山弘、遠藤剛、新井隆景(2014)、森北出版

In [15]:

# 室内換気 不定形格子(渦度法)
#
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import warnings
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')

# -------  条件設定
nx = 31
ny = 31
nxc = nx-1
nyc = ny-1
nxd = nx+1
nyd = ny+1
re = 100        # レイノルズ数
r1 = 1./re
pr = 0.71       # プラントルズ数 (空気)
ar = 0.2        # Gr/Re^2
dt = 0.002      # 時間刻み
td = 1./dt
bx = 0.98       # 格子生成パラメータx
by = 0.98       # 格子生成パラメータy
ja = ny-5       # 入り口の格子 No.
jb = 5          # 出口の格子 No
km = 60        # SOR法の最大反復回数
const = 1.0     # SOR法の加速係数
eps = 0.0001    # 繰り返し演算打ち切り誤差

# ---------  配列初期化
a1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
b1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
c1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
a2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
b2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
c2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
a3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
b3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
c3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
a4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2
b4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2
c4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2

psi=np.zeros((ny,nx)) # ψ
omg=np.zeros((ny,nx)) # ω
tmp=np.zeros((ny,nx)) # ωバックアップ
u=np.zeros((ny,nx))   # 流速 u
v=np.zeros((ny,nx))   # 流速 v
t=np.zeros((ny,nx))   # 温度 T

# --------------  格子生成
xx=np.zeros(nx)
yy=np.zeros(ny)
x=np.zeros(nxd)
y=np.zeros(nyd)

# 不均等格子形成
fa=(np.exp(bx)+1.)/(np.exp(bx)-1.)
fb=(np.exp(by)+1.)/(np.exp(by)-1.)

# ----------- X
for i in range(nx):
    bxa=bx*float(i)/float(nxc)
    xq=fa*(np.exp(bxa)-1)/(np.exp(bxa)+1)
    if xq<0:
        xq=0.
    if xq>1.:
        xq=1.
    x[i]=xq

x00=x[0]*2.-x[1]
x[nx]=x[nxc]*2.-x[nxc-1]

for i in range(nx):
    xx[i]=x[i+1]

for i in range(nx):  # 不均一格子座標差分情報 X
    x1=x[i+1]-x[i]
    if i==0:
        x2=x[i]-x00
        x3=x[i+1]-x00
        x4=x[i+1]-x[i]*2.+x00
    else:
        x2=x[i]-x[i-1]
        x3=x[i+1]-x[i-1]
        x4=x[i+1]-x[i]*2.+x[i-1]
    
    a1[i]=-x1/(x2*x3)
    b1[i]=x4/(x1*x2)
    c1[i]=x2/(x1*x3)
    a2[i]=2./(x2*x3)
    b2[i]=-2./(x1*x2)
    c2[i]=2./(x1*x3)

# ----------- Y
for j in range(ny):
    bya=by*float(j)/float(nyc)
    yq=fb*(np.exp(bya)-1)/(np.exp(bya)+1)
    if yq<0:
        yq=0.
    if yq>1.:
        yq=1.
    y[j]=yq

y00=y[0]*2.-y[1]
y[ny]=y[nyc]*2.-y[nyc-1]

for j in range(ny):
    yy[j]=y[j+1]

for j in range(ny):  # 不均一格子座標差分情報 Y
    y1=y[j+1]-y[j]
    if j==0:
        y2=y[j]-y00
        y3=y[j+1]-y00
        y4=y[j+1]-y[j]*2.+y00
    else:
        y2=y[j]-y[j-1]
        y3=y[j+1]-y[j-1]
        y4=y[j+1]-2.*y[j]+y[j-1]
    
    a3[j]=-y1/(y2*y3)
    b3[j]=y4/(y1*y2)
    c3[j]=y2/(y1*y3)
    a4[j]=2./(y2*y3)
    b4[j]=-2./(y1*y2)
    c4[j]=2./(y1*y3)

X,Y =np.meshgrid(xx,yy) # ２次元データ表示用グリッド

#
# --- 初期条件
ps0 = y[nyc]-y[ja]     # φ0 は　ya から y までの u の積分 u=1.流入量
for i in range(nx):
    psi[nyc][i]=ps0    #  上端の条件
for j in range(jb,ny):
    psi[j][nxc]=ps0    #  出口の条件
    
#
# ----------- 計算ループ ----------------
#
lmax=3000  # 繰り返し計算回数

for l in range(1,lmax+1):

    # STEP 1   境界条件
    for j in range(ny):         # 左右
        omg[j][0]=(a2[0]*c1[0]/a1[0]-c2[0])*psi[j][1]
        omx = (c2[nxc]*a1[nxc]/c1[nxc]-a2[nxc])*psi[j][nxc-1]
        omx2= (c2[nxc]*b1[nxc]/c1[nxc]-b2[nxc])*ps0
        omg[j][nxc]=omx+omx2
        t[j][0]=t[j][1]         # 左側面
        t[j][nxc]=t[j][nxc-1]   # 右側面

    for j in range(ja+1,nyc):   # 左側(出口より上)
        omg[j][0]=0.
        psi[j][0]=(y[j]-y[ja])/(y[nyc]-y[ja])*ps0
        t[j][0]=.8               # 入温度

    for j in range(jb):         # 右側(入口より下)
        omg[j][nxc]=omg[j][nxc-1]
        psi[j][nxc]=(y[j]-y[0])/(y[jb]-y[0])*ps0

    for i in range(nx):         # 上下面
        omg[0][i]=(a4[0]*c3[0]/a3[0]-c4[0])*psi[1][i]
        t[0][i]=.4              # 下面温度
        omy =(c4[nyc]*a3[nyc]/c3[nyc]-a4[nyc])*psi[nyc-1][i]
        omy2=(c4[nyc]*b3[nyc]/c3[nyc]-b4[nyc])*ps0
        omg[nyc][i]=omy+omy2
        t[nyc][i]=0.1           # 上面温度

    # STEP 2  ψの時間発展の計算 SOR法
    for k in range(km):
        for j in range(1,nyc):
            for i in range(1,nxc):
                pso=psi[j][i]  # 前回のψ
                tmp[j][i]=pso
            
                psx = a2[i]*psi[j][i-1]+c2[i]*psi[j][i+1]
                psy = a4[j]*psi[j-1][i]+c4[j]*psi[j+1][i]
                pss = -(psx+psy+omg[j][i])/(b2[i]+b4[j])   # psi^* の計算
                psi[j][i]=pso+const*(pss-pso)

        err2=0.
        for j in range(1,nyc):  # 偏差のチェック
            for i in range(1,nxc): 
                bb=np.absolute(psi[j][i]-tmp[j][i])
                if bb>err2:
                    err2=bb
        if err2<eps:  # 偏差が規定値以下ならループから抜ける
            break

    # STEP 3 ωの時間発展の計算
    for j in range(1,nyc):
        for i in range(1,nxc):
            omgo=omg[j][i]
        
            psy  = a3[j]*psi[j-1][i]+b3[j]*psi[j][i]+c3[j]*psi[j+1][i]  # ∂ψ/∂y
            omx  = a1[i]*omg[j][i-1]+b1[i]*omgo+c1[i]*omg[j][i+1]       # ∂ω/∂x
            omy  = a3[j]*omg[j-1][i]+b3[j]*omgo+c3[j]*omg[j+1][i]       # ∂ω/∂y
            psx  = a1[i]*psi[j][i-1]+b1[i]*psi[j][i]+c1[i]*psi[j][i+1]  # ∂ψ/∂x
            omx2 = a2[i]*omg[j][i-1]+b2[i]*omgo+c2[i]*omg[j][i+1]       # ∂^2ω/∂x^2
            omy2 = a4[j]*omg[j-1][i]+b4[j]*omgo+c4[j]*omg[j+1][i]       # ∂^2ω/∂y^2
            tx   = a1[i]*t[j][i-1]+b1[i]*t[j][i]+c1[i]*t[j][i+1]        # ∂T/∂x
            omg[j][i]=omgo+((omx2+omy2)*r1+tx*ar-psy*omx+psx*omy)*dt    # ωの更新

    # STEP 4 温度の時間発展の計算
    for j in range(1,nyc):
        for i in range(1,nxc):
            u[j][i]=  a3[j]*psi[j-1][i]+b3[j]*psi[j][i]+c3[j]*psi[j+1][i]  # u= ∂ψ/∂y
            v[j][i]=-(a1[i]*psi[j][i-1]+b1[i]*psi[j][i]+c1[i]*psi[j][i+1]) # v=-∂ψ/∂x
            to     =  t[j][i]
            tx     =  a1[i]*t[j][i-1]+b1[i]*to+c1[i]*t[j][i+1]        # ∂T/∂x
            ty     =  a3[j]*t[j][i-1]+b3[j]*to+c3[j]*t[j+1][i]        # ∂T/∂y
            tx2    =  a2[i]*t[j][i-1]+b2[i]*to+c2[i]*t[j][i+1]        # ∂^2T/∂x^2
            ty2    =  a4[j]*t[j-1][i]+b4[j]*to+c4[j]*t[j+1][i]        # ∂^2T/∂y^2
            t[j][i]=to+(-u[j][i]*tx-v[j][i]*ty+(tx2+ty2)*r1/pr)*dt    # T の更新

#  ------< 結果の表示 >-------------------
    if l%500==0:
        print("loop= ",l,"   Time= ",'{:.2f}'.format(l*dt),"   k=",k,"  err2=",'{:.2e}'.format(err2))
        fig=plt.figure(figsize=(7,7))
        ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
        ax1.set(xlabel='x',ylabel='y')
        ax1.set_title('流れ & 温度')
        ax1.contourf(X,Y,t,cmap='autumn_r')
        ax1.quiver(X,Y,u,v,color='silver')

        plt.show()

loop=  500    Time=  1.00    k= 0   err2= 3.27e-05

loop=  1000    Time=  2.00    k= 0   err2= 1.81e-05

loop=  1500    Time=  3.00    k= 0   err2= 1.03e-05

loop=  2000    Time=  4.00    k= 0   err2= 5.06e-06

loop=  2500    Time=  5.00    k= 0   err2= 1.99e-06

loop=  3000    Time=  6.00    k= 0   err2= 5.67e-07

In [ ]:

渦度法

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
◆　はじめに
非圧縮性の流れ方程式は、連続の式とナビエストークス方程式（無次元化した）を連立して解くことになる。
$\left\{\begin{array}{l}\nabla\cdot\bm{V}=0\hspace{53mm}\cdots\,(1)\\
\pdr{\bm{V}}{t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\bm{V}\qquad\cdots\,(2)\end{array}\right.$

この方程式は非線形で、かつ速度$\,\bm{V}\,$については時間発展形になっているが、圧力$\,p\,$についてはそうなっていない。そこで、速度$\,\bm{V}\,$を時間発展的に求める場合、各時間ステップでの連続の式（式(1)）を満足するように圧力$\,p\,$を求める必要がある。
非圧縮性ナビエストークス方程式を数値的に解く方法はいくつかあるが、ここでは圧力を消去する渦度法をここで説明する。

◆　導出
式(1)(2)を２次元で表すと
$\left\{\begin{array}{l}\pdr{u}{x}+\pdr{v}{y}=0\hspace{40mm}\cdots\,(3)\\
\pdr{u}{t}+u\pdr{u}{x}+v\pdr{u}{y}=-\pdr{p}{x}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{u}{x^2}+\ppdr{u}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(4)\\
\pdr{v}{t}+u\pdr{v}{x}+v\pdr{v}{y}=-\pdr{p}{y}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{v}{x^2}+\ppdr{v}{y^2}\right)\qquad\,\cdots\,(5)\end{array}\right.$

まず、式(4)を$\,y\,$で偏微分する。左辺は
$\quad\pdr{}{t}\left(\pdr{u}{y}\right)+\pdr{u^2}{x\,\partial y}+u\,\ppdr{u}{x\,\partial y}+\pdr{v}{y}\pdr{u}{y}+v\,\ppdr{u}{y^2}\qquad$となる。変形すると
$\quad=\pdr{}{t}\left(\pdr{u}{y}\right)+u\,\ppdr{u}{x\,\partial y}+\pdr{u}{y}\left(\pdr{u}{x}+\pdr{v}{y}\right)+v\,\ppdr{u}{y^2}\qquad$式(3)を代入すると
$\quad=\pdr{}{t}\left(\pdr{u}{y}\right)+u\,\ppdr{u}{x\,\partial y}+v\,\ppdr{u}{y^2}\qquad\cdots\,(6)\quad$となる。
右辺は
$\quad -\ppdr{p}{x\,\partial y}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\,\pdr{}{y}\left(\ppdr{u}{x^2}+\ppdr{u}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(7)\quad$となる。

続けて、式(5)を$\,x\,$で偏微分する。左辺は式(4)と同様に変形すると
$\quad\pdr{}{t}\left(\pdr{v}{x}\right)+u\,\ppdr{v}{x^2}+v\,\ppdr{v}{x\,\partial y}\qquad\cdots\,(8)\quad$となる。
右辺は
$\quad -\ppdr{p}{x\,\partial y}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\,\pdr{}{x}\left(\ppdr{v}{x^2}+\ppdr{v}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(9)\quad$となる。

ここで、式(8)から式(6)を引いて偏微分の順序を入れ替えると
$\quad\pdr{}{t}\left(\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\right)+u\,\pdr{}{x}\left(\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\right)+v\,\pdr{}{y}\left(\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\right)\qquad\cdots\,(10)\quad$となる。

式(9)から式(7)を引くと
$\quad\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\pdr{}{x}\ppdr{v}{x^2}+\pdr{}{x}\ppdr{v}{y^2}-\pdr{}{y}\ppdr{u}{x^2}-\pdr{}{y}\ppdr{u}{y^2}\right)$
$\quad=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{}{x^2}\pdr{v}{x}+\ppdr{}{y^2}\pdr{v}{x}-\ppdr{}{x^2}\pdr{u}{y}-\ppdr{}{y^2}\pdr{u}{y}\right)$
$\quad=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left[\ppdr{}{x^2}\left(\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\right)+\ppdr{}{y^2}\left(\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\right)\right]\qquad\cdots\,(11)\quad$となる。

ここで渦度$\,\omega\,$を流速ベクトル$\,\bm{V}\,$の回転とする。
$\quad\omega=\nabla\times\bm{V}=\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}\hspace{40mm}\cdots\,(12)$
この式(12)を式(10)と式(11)に代入して等号で結ぶと
$\quad\pdr{\omega}{t}+u\,\pdr{\omega}{x}+v\,\pdr{\omega}{y}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{\omega}{x^2}+\ppdr{\omega}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(13)$

流れ関数$\,\phi(x,y)\,$を考える。流速ベクトルを流れ関数の回転と定義する。
$\quad\bm{V}=\nabla\times\,(0,0,\phi)=\left(\pdr{\phi}{y}\,,\,-\pdr{\phi}{x}\,,\,0\right)\qquad\cdots\,(14)$
２次元の場合、$\bm{V}=(\,u\,,\,v\,,\,0)\,$の渦度の$\,z\,$成分$\,\omega\,$は
$\quad\omega=\pdr{v}{x}-\pdr{u}{y}=-\left(\ppdr{\phi}{x^2}+\ppdr{\phi}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(15)$

よって、式(1)(2)は流れ関数$\,\phi\,$と渦度$\,\omega\,$の連立方程式として、以下の形になる。
$\left\{\begin{array}{l}\ppdr{\phi}{x^2}+\ppdr{\phi}{y^2}=-\omega\hspace{60mm}\cdots\,(16)\\
\pdr{\omega}{t}+\pdr{\phi}{y}\,\pdr{\omega}{x}-\pdr{\phi}{x}\,\pdr{\omega}{y}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{\omega}{x^2}+\ppdr{\omega}{y^2}\right)\qquad\cdots\,(17)\end{array}\right.$

◆　解き方
式(16)、(17)を差分近似する。差分については「差分について」を参照のこと。

$\quad a_2\phi_{i-1,j}+b_2\phi_{i,j}+c_2\phi_{i+1,j}+a_4\phi_{i,j-1}+b_4\phi{i,j}+c_4\phi_{i,j+1}=-\omega_{i,j}\qquad\cdots\,(18)$
$\quad\dfrac{\omega_{i,j}^{n+1}-\omega_{i,j}}{\Delta t}+(a_3\phi_{i,j-1}+b_3\phi_{i,j}+c_3\phi_{i,j+1})(a_1\omega_{i-1,j}+b_1\omega_{i,j}+c_1\omega_{i+1,j})$
$\hspace{28mm}-(a_1\phi_{i-1,j}+b_1\phi{i,j}+c_1\phi_{i+1,j})(a_3\omega_{i,j-1}+b_3\omega_{i,j}+c_3\omega_{i,j+1})$
$\hspace{15mm}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}(a_2\omega_{i-1,j}+b_2\omega_{i,j}+c_2\omega_{i+1,j}+a_4\omega_{i,j-1}+b_4\omega_{i,j}+c_4\omega_{i,j+1})\qquad\cdots\,(19)$

まず、式(18)をSOR法(参照)で解くために、式(18)を$\,\phi_{i,j}\,$について解いて

$\quad\phi_{i,j}^*=-\dfrac{1}{b_2+b_4}(a_2\phi_{i-1,j}^{(\nu+1)}+c_2\phi_{i+1,j}^{(\nu)}+a_4\phi_{i,j-1}^{(\nu+1)}+c_4\phi_{i,j+1}^{(\nu)}+\omega_{i,j})\qquad\cdots\,(20)$

$\quad\phi_{i,j}^{(\nu+1)}=(1-\alpha)\phi_{i,j}^{(\nu)}+\alpha\phi_{i,j}^*\qquad\cdots\,\,(21)$

として、反復解法(SOR法)で求める。ただし、$\,\nu\,$は反復回数、$\,\alpha\,$は加速係数である。

◆ 参考文献

流体解析の基礎：河村哲也(2014)、朝倉書店
流体力学第２版：杉山弘、遠藤剛、新井隆景(2014)、森北出版

流れ関係特性値

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
◆ レイノルズ数　( Re )
レイノルズ数（Reynolds number）は流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元量である。流れの中でのこれら2つの力の相対的な重要性を定量している。

$\quad\mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,U\,L}{\mu}$

$\rho$：流体の密度　kg/m$^3\quad$　(例：水:$1000$ kg/m$^3$　空気:$1.2$ kg/m$^3$)

$U$：流体の速度　m/s

$L$：代表長さ　m

$\mu$：流体の粘度　Pa$\cdot$s , kg/m$\cdot$s$\quad$　(例：水:$1.01$ mPa$\cdot$s　空気:$0.0181$ mPa$\cdot$s at $20$℃)

$\star$
【例】内径 $2.5$ cm の配管に水が流れた場合、流速 $U=0.04$ m/s の時は
$\quad \mathrm{Re}=\dfrac{1000\times 0.04\times 0.025}{1.01\times 10^{-3}}=1000\quad$となる。
$\qquad$空気の場合、Re=$1000$ とするには、流速は $U=0.6$ m/s 必要となる。
$\quad \mathrm{Re}=\dfrac{1.2\times 0.6\times 0.025}{0.018\times 10^{-3}}=1000\quad$となる。

◆ プラントル数　( Pr )
プラントル数（ Prandtl number）は熱伝導に関する無次元の物性値であり、熱エネルギー拡散の度合いと運動エネルギー拡散の度合いの比です。プラントル数が大きいほど熱エネルギーの拡散に対して運動エネルギーの拡散の度合いが強いことを意味します。プラントル数は流体に固有の物性値です。流動現象において見られる壁面近傍の境界層を例にすると、プラントル数が $1.0$ の場合、温度境界層と速度境界層の厚みは等しくなります。プラントル数が $1.0$ より大きくなると、温度境界層に対して速度境界層の方が厚くなり、プラントル数が $1.0$ より小さい場合はその逆となります。

$\quad\mathrm{Pr}=\dfrac{\nu}{\alpha}=\dfrac{\mu\,C_P}{k}$

$\nu=\mu/\rho$：流体の動粘度　m$^2$/s

$\alpha$：熱拡散率（温度伝導率）　m$^2$/s

$\mu$：流体の粘度　Pa$\cdot$s , kg/m$\cdot$s$\quad$　(例：水:$1.01$ mPa$\cdot$s　空気:$0.0181$ mPa$\cdot$s at $20$℃)

$C_P$：流体の比熱（定圧比熱）　J/kg$\cdot$K$\quad$(例：水:$4182$ J/kg$\cdot$K　空気:$1006$ J/kg$\cdot$K　at $20$℃)

$k$：熱伝導率　W/m$\cdot$K , J/s$\cdot$m$\cdot$K$\quad$(例：水:$0.602$ W/m$\cdot$K　空気:$0.0257$ W/m$\cdot$K　at $20$℃)

$\star$
水($300$K $1$atm):$5.466$　空気($300$K $1$atm):$0.717$　水銀($300$K $1$atm):$0.025$　潤滑油($300$K $1$atm):$2040$

◆ グランホフ数　( Gr )
グラスホフ数（Grashof Number)は、伝熱現象、物質移動現象に関して、流れ場における粘性力に対する浮力の相対的な影響を示す無次元量である。粘性力と浮力の大きさの比を表した無次元数です。自然対流において流れが層流から乱流に遷移するかどうかを特徴付けます。レイノルズ数が強制対流の流れを特徴付ける無次元数ならば、グラスホフ数は自然対流の流れを特徴付ける無次元数です。グラスホフ数が大きい、つまり浮力の影響が強い場合は、流体はより自由に流れようとするため流動は乱流場となります。一方、グラスホフ数が小さい場合は、流体の粘度による流れの抑制効果が高いため層流場となります。層流と乱流の境界となるグラスホフ数はアプリケーションによって異なりますが、概ね $10^8$～$10^9$ のオーダーです。

$\quad\mathrm{Gr}=\dfrac{g\beta\Delta\theta L^3}{\nu^2}=\dfrac{g\rho^2\beta\Delta\theta L^3}{\mu^2}$

$g$：重力加速度　m/s$^2$　$9.807$ m/s$^2$

$\beta$：体膨張係数　$1$/K　(例：水:$0.2\times 10^{-3}/$K　空気:1/K)

$\Delta\theta$：温度差　K

$\star$
空気で代表温度差:$100$ K　代表長さ:$1$ m　では $\mathrm{Gr}=1.466\times 10^{10}$　となる。

差分について

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
◆ はじめに
流れ解析において、微分方程式の数値解を求める手法として、まず『差分法』を挙げることが出来る。　関数 $f(x)\,$の$\,x=x_i\,$における微分は

$\quad \dfrac{df}{dx}=\di\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(1)$

で表される。ここで、極限をとらずに$\,h\,$が十分小さいとして、”$\,\sim\,$” の記号を使って、以下のように表す。

$\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(2)$

図で言うと、点 $P\,$の傾きを$\,PA\,$の傾きとするのが『前進差分』である。逆に$\,BP\,$とするのが『後退差分』（式(3)）である。

$\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(3)$

点$\,P\,$での微分を$\,BA\,$の傾きとするのが『中心差分』である。図の差を$\,h=h_1=h_2\,$とする。

$\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}\quad\cdots\,(4)$

◆ ２次微分
式(4)を$\,x\,$で微分すると

$\quad \left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}=\dfrac{df^{\prime}}{dx}\,\sim\,\dfrac{f^{\prime}(x_i+h)-f^{\prime}(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(5)$

ここで、$f^{\prime}(x_i+h)\,$を$\,f(x_i)\,$の前進差分（式(1)）として展開すると、

$\quad \left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(6)$

$f^{\prime}(x_i-h)\,$を$\,f(x_i)\,$の後退差分（式(2)）として展開すると、

$\quad \left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(7)$

式(6),(7)を式(5)に代入すると

$\quad \left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-2f(x_i)+f(x_i-h)}{h^2}\quad\cdots\,(8)$

◆ 不均等格子での差分
　左図のような$\,h_1\ne h_2\,$の場合、不均等格子となる。三点の線形結合で微分を差分で表すことを考える。$\,f(x_i)\,$を$\,f_i\,$と表すこととする。

$\,a\,f_{i-1}+b\,f_i+c\,f_{i+1}\quad\cdots\,(10)$

テーラー展開は次のようになる。

$\quad g(e)=g(d)+g^{\prime}(d)(e-d)+\dfrac{g^{\prime\prime}(d)}{2!}(e-d)^2+\cdots$

$\,a\,f_{i-1}\,$をテーラー展開すると

$\quad af(x_i-h_1)=af(x_i)+af^{\prime}(x_i)(-h_1)+a\dfrac{f^{\prime\prime}(x_i)}{2!}(-h_1)^2+\cdots\quad (11)$

$\,c\,f_{i+1}\,$をテーラー展開すると

$\quad cf(x_i+-h_2)=cf(x_i)+cf^{\prime}(x_i)(h_2)+c\dfrac{f^{\prime\prime}(x_i)}{2!}(h_2)^2+\cdots\quad (12)$

式(11)と(12)を式(10)に代入すると

$\quad a\,f_{i-1}+b\,f_i+c\,f_{i+1}=(a+b+c)f_i+(ch_2-ah_1)f_i^{\prime}+(ah_1^2+ch_2^2)\dfrac{f_i^{\prime\prime}}{2}+\cdots\,(13)$

これより、１階微分$\,f_i^{\prime}\,$を$\,f_{i-1}\,\,,\,\,f_i\,\,,\,\,f_{i+1}\,$の線形結合で表すには

$\,a+b+c=0\ \ ,\quad ch_2-ah_1=1\ \ ,\quad 1/2(ah_1^2+ch_2^2)=0\ $とおいて、$a\ ,\ b\ ,\ c\ $を求める。

$\,\,a=-\dfrac{h_2}{h_1(h_1+h_2)}\,\,,\quad b=\dfrac{h_2-h_1}{h_1h_2}\,\,,\quad c=\dfrac{h_1}{h_2(h_1+h_2)}\quad$となる。具体的な近似式は

$\quad\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}=\dfrac{-h_2^2\,f_{i-1}+(h_2-h_1)(h_2+h_1)\,f_i+h_1^2\,f_{i+1}}{h_1h_2(h_1+h_2)}\quad\cdots\,(14)$

同様に、２階微分$\,f_i^{\prime\prime}\,$を$\,f_{i-1}\,\,,\,\,f_i\,\,,\,\,f_{i+1}\,$の線形結合で表すには

$\,a+b+c=0\ \ ,\quad ch_2-ah_1=0\ \ ,\quad 1/2(ah_1^2+ch_2^2)=1\ $とおいて、$a\ ,\ b\ ,\ c\ $を求める。

$\,\,a=\dfrac{2}{h_1(h_1+h_2)}\,\,,\quad b=-\dfrac{2}{h_1h_2}\,\,,\quad c=\dfrac{2}{h_2(h_1+h_2)}\quad$となる。近似式は以下のようになる。

$\quad\left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}=\dfrac{2\,h_2\,f_{i-1}-2\,(h_2+h_1)\,f_i+2\,h_1\,f_{i+1}}{h_1h_2(h_1+h_2)}\quad\cdots\,(15)$

流れ解析の練習-２室内換気不均等格子

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

室内換気不定形格子(MAC法)

$ \def\bm{\boldsymbol}\def\di{\displaystyle}\def\ve{\varepsilon_0}\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

不均等格子を用いて、室内気流の層流解析を行う。河村先生の「流体解析の基礎」を参考にした。

モデルは左の図にしたように、左上に流入口、右下に流失口とする。流れは2次元の層流で、熱の効果は考えないこととする。
ここでは、MAC法を用いる。MAC法の基礎方程式は以下のようになる。

$\left\{\begin{array}{@{\\,}l}\,\,\Delta p=-\nabla\cdot\{(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}\}+\dfrac{D^{\,n}}{\Delta t}\quad\cdots\,(1)\\
\,\,\pdr{\bm{V}}{t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\bm{V}\quad\cdots\,(2)\end{array}\right.$

ここで、$\,\,D=\nabla\cdot\bm{V}\,$で、$\,\,D^{\,n}\,$ は、発散の時間発展を表す。
式(1),(2)の各微分の項を2次元で展開すると

$\left\{\begin{array}{l}\,\,(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=(\,uu_x+vu_y\,,\,uv_x+vv_y\,)\qquad\cdots\,(3)\\
\,\,\nabla\cdot\{(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}\}=\pdr{}{x}(uu_x+vu_y)+\pdr{}{y}(uv_x+vv_y)=u_x^2+2v_xu_y+v_y^2\quad\cdots\,(4)\\
\,\,D\,\,=u_x+v_y\qquad\cdots\,(5)\\
\,\,\Delta p\,=\,p_{xx}+p_{yy}\qquad\cdots\,(6))\end{array}\right.$

となるので、式(1)と式(2)は以下のようになる。

$\left\{\begin{array}{@{\\,}l}\,\,p_{xx}+p_{yy}=-(u_x^2+2v_xu_y+v_y^2)+(u_x+v_y)/\Delta t\quad\cdots\,(10)\\
\,\,u_t+uu_x+vu_y=-p_x+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}(u_{xx}+u_{yy})\quad\cdots\,(11)\\
\,\,v_t+uv_x+vv_y=-p_y+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}(v_{xx}+v_{yy})\quad\cdots\,(12)\end{array}\right.$

◆ 不均等格子
　小さい流入や流出口の場合、ある程度の格子点を集める必要がある。このような場合は、流出流入口周りに格子点を集めるような不均等格子を用いる。今回は左の図のような格子を使用した。
使用した関数は、式(15)で$\,Z(x)\,$の値を$\,x\,,\,y\,$軸とも使用した。

$\quad Z(x)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{e^a+1}{e^a-1}\,\dfrac{e^{a(2x-1)}-1}{e^{a(2x-1)}+1}\right)\quad\cdots\,(15)$
$\quad a=\log\dfrac{1+b}{1-b}\quad (\,0\,<\,x\,<\,1\,)$

格子からの差分の計算は別記事を参照の事。
差分の係数$\,a_1\,,\,a_2\,,\,\cdots\,$
や$\quad\,b_1\,,\,b_2\,,\,\cdots\,,c_1\,,\,c_2\,,\,\cdots\,$も別掲参照。

【１】基礎方程式(10)の差分化は、

$\quad a_2p_{i-1,j}+b_2p_{i,j}+c_2p_{i+1,j}+a_4p_{i,j-1}+b_4p_{i,j}+c_4p_{i,j+1}$
$\qquad\quad =\dfrac{1}{\Delta t}(a_1u_{i-1,j}+b_1u_{i,j}+c_1u_{i+1,j}+a_3v_{i,j-1}+b_3v_{i,j}+c_3v_{i,j+1})$
$\qquad\quad -(a_1u_{i-1,j}+b_1u_{i,j}+c_1u_{i+1,j})^2-(a_3v_{i,j-1}+b_3v_{i,j}+c_3v_{i,j+1})^2$
$\qquad\quad -2(a_3u_{i,j-1}+b_3u_{i,j}+c_3u_{i,j+1})(a_1v_{i-1,j}+b_1v_{i,j}+c_1v_{i+1,j})\quad\cdots\,(21)\quad$　となる。

【２】(11)(12)式の差分化は以下のようになる。

$\quad \dfrac{u^{n+1}_{i,j}-u_{i,j}}{\Delta t}+u_{i,j}(a_1u_{i-1,j}+b_1u_{i,j}+c_1u_{i+1,j})+v_{i,j}(a_3u_{i,j-1}+b_3u_{i,j}+c_3u_{i,j+1})$
$\qquad\quad =-(a_1p_{i-1,j}+b_1p_{i,j}+c_1p_{i+1,j})$
$\qquad\quad +\dfrac{1}{\mathrm{Re}}(a_2u_{i-1,j}+b_2u_{i,j}+c_2u_{i+1,j}+a_4u_{i,j-1}+b_4u_{i,j}+c_4u_{i,j+1})\quad\cdots\,(22)$

$\quad \dfrac{v^{n+1}_{i,j}-v_{i,j}}{\Delta t}+u_{i,j}(a_1v_{i-1,j}+b_1v_{i,j}+c_1v_{i+1,j})+v_{i,j}(a_3v_{i,j-1}+b_3v_{i,j}+c_3v_{i,j+1})$
$\qquad\quad =-(a_3p_{i-1,j}+b_3p_{i,j}+c_3p_{i+1,j})$
$\qquad\quad +\dfrac{1}{\mathrm{Re}}(a_2v_{i-1,j}+b_2v_{i,j}+c_2v_{i+1,j}+a_4v_{i,j-1}+b_4v_{i,j}+c_4v_{i,j+1})\quad\cdots\,(23)$

【３】 境界条件

入口と出口は$\,u=1.\,\,,\,v=0.\,$とする。上下の面は$\,u=0.\,\,,\,v=0\,$とし、左右の面は入口と出口以外は$\,u=0.\,\,,\,v=0$とする。

In [7]:

# 室内換気 不定形格子(MAC法)
#
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import warnings
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')

# 条件設定
nx = 31
ny = 31
nxd = nx+1
nyd = ny+1
re = 200        # レイノルズ数
r1 = 1./re
dt = 0.01       # 時間刻み
td = 1./dt
bb = 0.98       # 格子生成パラメータ1
ja = ny-5       # 入り口の格子 No.
jb = 5          # 出口の格子 No
km = 20         # SOR法の最大反復回数
eps = 0.0001    # 繰り返し演算打ち切り誤差

# 配列初期化
a1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
b1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
c1=np.zeros(nx)   # ∂/∂x
a2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
b2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
c2=np.zeros(nx)   # ∂/∂x^2
a3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
b3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
c3=np.zeros(ny)   # ∂/∂y
a4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2
b4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2
c4=np.zeros(ny)   # ∂/∂y^2
u=np.zeros((ny,nx))   # 流速 u
v=np.zeros((ny,nx))   # 流速 v
p=np.zeros((ny,nx))   # 圧力 P
r=np.zeros((ny,nx))   # ポアソン方程式の右辺

# 格子生成
xx=np.zeros(nx)
yy=np.zeros(ny)
x = np.linspace(0, 1, nx)
y = np.linspace(0, 1, ny)
#X, Y =np.meshgrid(x, y)

# 不均等格子形成
ff=(np.exp(bb)+1.)/(np.exp(bb)-1.)

for i in range(nx):
    bx=bb*float(i)/float(nx-1)
    xq=ff*(np.exp(bx)-1)/(np.exp(bx)+1)
    if xq<0:
        xq=0.
    if xq>1.:
        xq=1.
    xx[i]=yy[i]=xq

XI, YI =np.meshgrid(xx,yy) # 流速プロット用グリッド

for i in range(1,nx-1):  # 不均一格子座標差分情報 X
    x1=xx[i+1]-xx[i]
    x2=xx[i]-xx[i-1]
    x3=xx[i+1]-xx[i-1]
    x4=xx[i+1]-2.*xx[i]+xx[i-1]
    a1[i]=-x1/(x2*x3)
    b1[i]=x4/(x1*x2)
    c1[i]=x2/(x1*x3)
    a2[i]=2./(x2*x3)
    b2[i]=-2./(x1*x2)
    c2[i]=2./(x1*x3)

for j in range(1,ny-1): # 不均一格子座標差分情報 Y
    y1=yy[j+1]-yy[j]
    y2=yy[j]-yy[j-1]
    y3=yy[j+1]-yy[j-1]
    y4=yy[j+1]-2.*yy[j]+yy[j-1]
    a3[j]=-y1/(y2*y3)
    b3[j]=y4/(y1*y2)
    c3[j]=y2/(y1*y3)
    a4[j]=2./(y2*y3)
    b4[j]=-2./(y1*y2)
    c4[j]=2./(y1*y3)

#
# ----------- 計算ループ ----------------
#
lmax=200  # 繰り返し計算回数

for l in range(1,lmax+1):

    # 境界条件
    for i in range(nx):             # 上下
        u[ny-1][i]=v[ny-1][i]=0.
        u[0][i]=v[0][i]=0.

    for j in range(jb,ny):          # 右側
        u[j][nx-1]=v[j][nx-1]=0.

    for j in range(ja):             # 左側
        u[j][0]=v[j][0]=0.

    for j in range(ja,ny):          # 入口
        u[j][0]=1.
        v[j][0]=0.

    for j in range(jb):             # 出口
        u[j][nx-1]=1.
        v[j][nx-1]=0.

    # ポアソン方程式の右側の計算

    for j in range(1,ny-1):
            for i in range(1,nx-1):
                    u1=a1[i]*u[j][i-1]+b1[i]*u[j][i]+c1[i]*u[j][i+1]
                    u2=a3[j]*u[j-1][i]+b3[j]*u[j][i]+c3[j]*u[j+1][i]
                    v1=a1[i]*v[j][i-1]+b1[i]*v[j][i]+c1[i]*v[j][i+1]
                    v2=a3[j]*v[j-1][i]+b3[j]*v[j][i]+c3[j]*v[j+1][i]
                    r[j][i]=-u1*u1-2.*u2*v1-v2*v2+td*(u1+v2)

    # 収束計算ループ
    for k in range(1,km+1):
            g2=0.

            for j in range(ny):  # 圧力の境界条件
                    p[j][0]=p[j][1]
                    p[j][nx-1]=p[j][nx-2]
            for i in range(nx):
                    p[0][i]=p[1][i]
                    p[ny-1][i]=p[ny-2][i]

            for j in range(1,ny-1):
                    for i in range(1,nx-1):
                            qa=a2[i]*p[j][i-1]+c2[i]*p[j][i+1]
                            qb=a4[j]*p[j-1][i]+c4[j]*p[j+1][i]
                            uli=(-qa-qb+r[j][i])/(b2[i]+b4[j])-p[j][i]
                            g2=g2+uli*uli
                            p[j][i]=p[j][i]+uli
                     
            if g2<eps: break


    for j in range(1,ny-1): # Navier Stokes equation の時間発展 u
            for i in range(1,nx-1):
                    u3=u[j][i]*(a1[i]*u[j][i-1]+b1[i]*u[j][i]+c1[i]*u[j][i+1])
                    u4=v[j][i]*(a3[j]*u[j-1][i]+b3[j]*u[j][i]+c3[j]*u[j+1][i])
                    u5=a2[i]*u[j][i-1]+b2[i]*u[j][i]+c2[i]*u[j][i+1]
                    u6=a4[j]*u[j-1][i]+b4[j]*u[j][i]+c4[j]*u[j+1][i]
                    px=a1[i]*p[j][i-1]+b1[i]*p[j][i]+c1[i]*p[j][i+1]

                    u[j][i]=u[j][i]+dt*(-u3-u4-px+r1*(u5+u6))

    for j in range(1,ny-1): # v の計算
            for i in range(1,nx-1):
                    v3=u[j][i]*(a1[i]*v[j][i-1]+b1[i]*v[j][i]+c1[i]*v[j][i+1])
                    v4=v[j][i]*(a3[j]*v[j-1][i]+b3[j]*v[j][i]+c3[j]*v[j+1][i])
                    v5=a2[i]*v[j][i-1]+b2[i]*v[j][i]+c2[i]*v[j][i+1]
                    v6=a4[j]*v[j-1][i]+b4[j]*v[j][i]+c4[j]*v[j+1][i]
                    py=a3[j]*p[j-1][i]+b3[j]*p[j][i]+c3[j]*p[j+1][i]

                    v[j][i]=v[j][i]+dt*(-v3-v4-py+r1*(v5+v6))
                    
    if l%40==0 or l==2 or l==4 or l==10:
        print("loop= ",l,"  k=",k,"  g2=",'{:.3e}'.format(g2))
        fig=plt.figure(figsize=(10,5))
        ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
        ax1.set(xlabel='x',ylabel='y')
        ax1.set_title('流れ')
        ax1.quiver(XI,YI,u,v,color='blue')
        ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)
        ax2.set(xlabel='x',ylabel='y')
        ax2.set_title('圧力')
        ax2.contourf(X,Y,p)
        plt.show()

loop=  2   k= 20   g2= 1.727e-01

loop=  4   k= 20   g2= 8.517e-02

loop=  10   k= 20   g2= 1.054e-01

loop=  40   k= 20   g2= 1.263e-03

loop=  80   k= 3   g2= 9.852e-05

loop=  120   k= 1   g2= 9.758e-05

loop=  160   k= 2   g2= 9.333e-05

loop=  200   k= 1   g2= 6.492e-05

◆ 計算結果
流れは loop=10 位の時間経過で、大体落ち着いた感じになり、圧力勾配も斜めになっている。
loop=80 位から入口の下側に渦が見えている。今回の計算が Re=200 なので、もう少し大きくすると違いが出ると思われる。渦の発達とともに圧力分布も渦と出口部分が小さくなっている。

In [ ]:

流れ解析の練習-1 キャビティ流れ 3D

$\def\bm{\boldsymbol}$
$\def\di{\displaystyle}$
$\def\ve{\varepsilon_0}$
$\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$
$\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

◆ キャビティ流れ 3D

先日、「流れ解析入門」の講義を受けました。その内容を忘れないように、河村先生の著書を見ながら３次元キャビティ問題を Python の勉強も兼ねて、コードを書いてみました。配列の処理などは、スライスを使えば、かなり速くなるらしいがそのままにしています。今回はポアソン方程式の解法に、フラクショナル・ステップ法を使用しました。まず、その解説から。

非圧縮性ナビエストークス方程式は以下の形で表すことが出来る。

$\qquad \pdr{\bm{V}}{t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\bm{V}\quad\cdots\,$(1)

式(1)の左辺の時間微分項を前進差分で近似すれば時間ステップ$\,n\,$において以下の形になる。

$\qquad\dfrac{\bm{V}^{n+1}-\bm{V}}{\Delta t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=-\nabla p+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\bm{V}\quad\cdots\,$(2)

次に式(1)で圧力項を落とした方程式を同じく前進差分で近似すれば

$\qquad\dfrac{\bm{V}^*-\bm{V}}{\Delta t}+(\bm{V}\cdot\nabla)\bm{V}=\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\bm{V}\quad\cdots\,$(3)

ここで、$\,\bm{V}^*\,$は「仮の速度」と呼ばれ圧力項のない方程式を近似している。式(2)から式(3)を引くと、

$\qquad\dfrac{\bm{V}^{n+1}-\bm{V}^*}{\Delta t}=-\nabla p\quad\cdots\,$(4)

になる。この式の両辺の発散をとると、

$\qquad\dfrac{\nabla\cdot\bm{V}^{n+1}-\nabla\cdot\bm{V}^*}{\Delta t}=-\nabla\cdot\nabla p\quad\cdots\,$(5)

となる。連続の式$\,\nabla\cdot\bm{V}=0\,$を考慮すると、圧力のポアソン方程式が得られる。

$\qquad\Delta p=\dfrac{\nabla\cdot\bm{V}^*}{\Delta t}\quad\cdots\,$(6)

が得られる。$\,\bm{V}^*\,$は式(3)から計算して、圧力$\,p\,$を求める。さらに、式(4)から

$\qquad\bm{V}^{n+1}=\bm{V}^*-\Delta t\nabla p\quad\cdots\,$(7)

が得られる。

◆ 3次元直交座標での計算
(1) $\bm{V}^*\,$の計算

$\left\{\begin{array}{@{\\,}l}\,\,u^*=u+\Delta t\left\{-u\pdr{u}{x}-v\pdr{u}{y}-w\pdr{u}{z}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{u}{x^2}+\ppdr{u}{y^2}+\ppdr{u}{z^2}\right)\right\}\quad\cdots\,(10)\\
\,\,v^*=v+\Delta t\left\{-u\pdr{v}{x}-v\pdr{v}{y}-w\pdr{v}{z}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{v}{x^2}+\ppdr{v}{y^2}+\ppdr{v}{z^2}\right)\right\}\quad\cdots\,(11)\\
\,\,w^*=w+\Delta t\left\{-u\pdr{w}{x}-v\pdr{w}{y}-w\pdr{w}{z}+\dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\ppdr{w}{x^2}+\ppdr{w}{y^2}+\ppdr{w}{z^2}\right)\right\}\quad\cdots\,(12)\end{array}\right.$

(2) 圧力のポアソン方程式の計算

$\qquad\ppdr{p}{x^2}+\ppdr{p}{y^2}+\ppdr{p}{z^2}=\dfrac{1}{\Delta t}\left(\pdr{u^*}{x}+\pdr{v^*}{y}+\pdr{w^*}{z}\right)\quad\cdots\,$(13)

(3) $\bm{V}^*\,$の計算

$\left\{\begin{array}{@{\\,}l}\,\,u^{n+1}=u^*-\Delta t\pdr{p}{x}\quad\cdots\,(16)\\
\,\,v^{n+1}=v^*-\Delta t\pdr{p}{y}\quad\cdots\,(17)\\
\,\,w^{n+1}=w^*-\Delta t\pdr{p}{z}\quad\cdots\,(18)\end{array}\right.$

◆ 参考文献

流体解析の基礎：河村哲也(2014)、朝倉書店
数値流体解析の基礎：肖鋒、長崎孝夫(2020)、コロナ社
流体力学第２版：杉山弘、遠藤剛、新井隆景(2014)、森北出版

In [8]:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import japanize_matplotlib
import warnings
# 警告非表示
warnings.simplefilter('ignore')

# 条件設定
nx = 21
ny = 21
nz = 21
re = 40      # レイノルズ数
dt = 0.01    # 時間刻み
eps= 0.00001 # ポアソン方程式計算誤差限度
lm = 20      # ポアソン方程式の計算回数
nx1 = nx-1
ny1 = ny-1
nz1 = nz-1
nx2 = nx-2
ny2 = ny-2
nz2 = nz-2
dx = 1. / float(nx1)
dy = 1. / float(ny1)
dz = 1. / float(nz1)
td= 1. / dt
xdh=.5 * float(nx1)
ydh=.5 * float(ny1)
zdh=.5 * float(nz1)
dx2 = dx * dx
dy2 = dy * dy
dz2 = dz * dz
idx2 = 1./ dx2
idy2 = 1./ dy2
idz2 = 1./ dz2
idxyz = .5*dx2*dy2*dz2/(dy2*dz2+dx2*dz2+dx2*dz2)
ire = 1. / float(re)
nyh = ny // 2+1

# 配列
u = np.zeros((nx,ny,nz))   # 流れ x方向成分 u
ut= np.zeros((nx,ny,nz))   # 仮の流れ x方向成分 u
v = np.zeros((nx,ny,nz))   # 流れ y方向成分 v
vt= np.zeros((nx,ny,nz))   # 仮の流れ y方向成分 v
w = np.zeros((nx,ny,nz))   # 流れ z方向成分 w
wt= np.zeros((nx,ny,nz))   # 仮の流れ z方向成分 w
uh = np.zeros((nz,nx))     # 断面表示用 u
vh = np.zeros((nz,nx))     # 断面表示用 v

p = np.zeros((nx,ny,nz))   # 圧力
q = np.zeros((nx,ny,nz))   # ポアソン方程式の右辺の値

# グラフ条件設定
x, y, z = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, nx),
                      np.linspace(0, 1, ny),
                      np.linspace(0, 1, nz))  # ３次元
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, nx),
                      np.linspace(0, 1, nz))  # ２次元

#
# 計算ループ
#
nt = 300     # 計算ループ回数

for n in range(1,nt+1):

#　境界条件設定

    for i in range(nx):  # 境界条件 上下
        for j in range(ny):
            u[i][j][0] = ut[i][j][0] = 0.       # 下
            v[i][j][0] = vt[i][j][0] = 0.
            w[i][j][0] = wt[i][j][0] = 0.
            u[i][j][nz1] = ut[i][j][nz1] = 0.95  # 上 ux=0.95  
            v[i][j][nz1] = vt[i][j][nz1] = 0.15  #    uy=0.15
            w[i][j][nz1] = wt[i][j][nz1] = 0.
                  
    for j in range(ny):  # 境界条件 左右
        for k in range(nz):
            u[0][j][k] = ut[0][j][k] =0.       # 左
            v[0][j][k] = vt[0][j][k] =0.
            w[0][j][k] = wt[0][j][k] =0.
            u[nx1][j][k] = ut[nx1][j][k] =0.   # 右
            v[nx1][j][k] = vt[nx1][j][k] =0.
            w[nx1][j][k] = wt[nx1][j][k] =0.

    for k in range(nz):  # 境界条件 前後
        for i in range(nx):
            u[i][0][k] = ut[i][0][k] =0.       # 前
            v[i][0][k] = vt[i][0][k] =0.
            w[i][0][k] = wt[i][0][k] =0.
            u[i][ny1][k] = ut[i][ny1][k] =0.   # 奥
            v[i][ny1][k] = vt[i][ny1][k] =0.
            w[i][ny1][k] = wt[i][ny1][k] =0.

#　仮の　V*　の計算

    for k in range(1, nz1):
        for j in range(1, ny1):
            for i in range(1, nx1):
                rx = u[i][j][k]*(u[i+1][j][k]-u[i-1][j][k])*xdh \
                    +v[i][j][k]*(u[i][j+1][k]-u[i][j-1][k])*ydh \
                    +w[i][j][k]*(u[i][j][k+1]-u[i][j][k-1])*zdh
                vx = (u[i+1][j][k]-2*u[i][j][k]+u[i-1][j][k])*idx2 \
                    +(u[i][j+1][k]-2*u[i][j][k]+u[i][j-1][k])*idy2 \
                    +(u[i][j][k+1]-2*u[i][j][k]+u[i][j][k-1])*idz2
                ut[i][j][k]=u[i][j][k]+dt*(-rx+vx*ire)  # 式(10)

                ry = u[i][j][k]*(v[i+1][j][k]-v[i-1][j][k])*xdh \
                    +v[i][j][k]*(v[i][j+1][k]-v[i][j-1][k])*ydh \
                    +w[i][j][k]*(v[i][j][k+1]-v[i][j][k-1])*zdh
                vy = (v[i+1][j][k]-2*v[i][j][k]+v[i-1][j][k])*idx2 \
                    +(v[i][j+1][k]-2*v[i][j][k]+v[i][j-1][k])*idy2 \
                    +(v[i][j][k+1]-2*v[i][j][k]+v[i][j][k-1])*idz2
                vt[i][j][k]=v[i][j][k]+dt*(-ry+vy*ire)  # 式(11)
                
                rz = u[i][j][k]*(w[i+1][j][k]-w[i-1][j][k])*xdh \
                    +v[i][j][k]*(w[i][j+1][k]-w[i][j-1][k])*ydh \
                    +w[i][j][k]*(w[i][j][k+1]-w[i][j][k-1])*zdh
                vz = (w[i+1][j][k]-2*w[i][j][k]+w[i-1][j][k])*idx2 \
                    +(w[i][j+1][k]-2*w[i][j][k]+w[i][j-1][k])*idy2 \
                    +(w[i][j][k+1]-2*w[i][j][k]+w[i][j][k-1])*idz2
                wt[i][j][k]=w[i][j][k]+dt*(-rz+vz*ire)  # 式(12)
                
#　圧力のポアソン方程式の計算
 
    for k in range(1, nz1):
        for j in range(1, ny1):
            for i in range(1, nx1):
                q[i][j][k]=( (ut[i+1][j][k]-ut[i-1][j][k])*xdh \
                            +(vt[i][j+1][k]-vt[i][j-1][k])*ydh \
                            +(wt[i][j][k+1]-wt[i][j][k-1])*zdh )*td # 式(13) の右辺

    for l in range(1,lm):  # ポアソン方程式の解法

        for k in range(1, nz): # 圧力設定 左右 内側からコピー
            for j in range(1,ny):
                p[0][j][k]=p[1][j][k]
                p[nx1][j][k]=p[nx2][j][k]

        for k in range(1, nz): # 圧力設定 前後 内側からコピー
            for i in range(1, nx):
                p[i][0][k]=p[i][1][k]
                p[i][ny1][k]=p[i][ny2][k]

        for j in range(1, ny): # 圧力設定 上下 内側からコピー
            for i in range(1, nx):
                p[i][j][0]=p[i][j][1]
                p[nx1][j][nz1]=p[i][j][nz2]

        g2=0.
        
        for k in range(1, nz1):  # 解法ループ
            for j in range(1, ny1):
                for i in range(1, nx1):
                    rhs=(p[i+1][j][k]+p[i-1][j][k])*idx2+(p[i][j+1][k]+p[i][j-1][k])*idy2 \
                        +(p[i][j][k+1]+p[i][j][k-1])*idz2
                    uli=(rhs-q[i][j][k])*idxyz-p[i][j][k]  # 式(13)
                    g2+=uli*uli
                    p[i][j][k]+=uli

        if(g2<=eps*nz):  # 誤差以下ならループを抜ける
            break;

# 流れ$\,\bm{V}^{n+1}\,$の計算
    for k in range(1, nz1):
        for j in range(1, ny1):
            for i in range(1, nx1):
                u[i][j][k]=ut[i][j][k]-dt*(p[i+1][j][k]-p[i-1][j][k])*xdh
                v[i][j][k]=vt[i][j][k]-dt*(p[i][j+1][k]-p[i][j-1][k])*ydh
                w[i][j][k]=wt[i][j][k]-dt*(p[i][j][k+1]-p[i][j][k-1])*zdh

                
    # グラフ表示
    if n%100 == 0 or n==1 or n==10:
        print("loop= ", n)
        for k in range(nz):
            for i in range(nx):
                uh[k][i]=u[i][nyh][k]
                vh[k][i]=v[i][nyh][k]
        uh[ny1][::]=vh[ny1][::]=uh[ny2][::]=vh[ny2][::]=0 # 飛び出すベクトル消す
        fig=plt.figure(figsize=(10,5))
        ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1,projection='3d')
        ax1.set(xlabel='x',ylabel='y',zlabel='z')
        ax1.set_title('流れ3D')
        ax1.quiver(x,y,z,u,v,w,length=0.04,linewidth=1,color='blue')
        ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)
        ax2.set(xlabel='x',ylabel='z')
        ax2.set_title('y=0.5 断面')
        ax2.quiver(X,Y,uh,vh,linewidth=1,color='blue')
        plt.subplots_adjust(left=0.125, bottom=0.2, 
                    right=0.9, top=0.9, wspace=0.3, hspace=0.3)
        plt.show() 
    if n==nt:
        for k in range(nz):
            for i in range(nx):
                uh[k][i]=p[i][nyh][k]

        fig=plt.figure(figsize=(4,4))
        plt.xlabel("X")
        plt.ylabel(("Z"))
        plt.title('圧力(y=0.5 断面)')
        plt.contourf(X, Y, uh, cmap='cool')
        plt.show

loop=  1

loop=  10

loop=  100

loop=  200

loop=  300

In [ ]:

SOR法による連立一次方程式の解法

$\def\bm{\boldsymbol}$
$\def\di{\displaystyle}$
$\def\ve{\varepsilon_0}$
$\def\dd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$
$\def\dda#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

$$ \def\bm{\boldsymbol}\def\di{\displaystyle}\def\ve{\varepsilon_0}\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$$

流れ解析の差分法において、ポアソン方程式の解法などで、出てくる連立方程式を

$\quad\bm{A}\bm{x}=\bm{b}\quad\cdots\,$(1)

とするとき、直接法では次元が大きいと桁落ちなどで精度で問題が出る。特に対角項の絶対値が他の項より高い場合は、繰り返し法の方が演算回数が低く精度が高い場合がある。

まず、行列$\,\bm{A}\,$を対角行列$\,\bm{D}\,$と対角成分をゼロとした行列$\,\bm{A1}\,$に分けて、反復の式を作成する。

$\quad\bm{A1}\,\bm{x}^{(n+1)}=\bm{D}\,\bm{x}^{(n)}+\bm{b}\quad\cdots\,$(2)

式(2)を使って、$n\,$番目の近似解$\,\bm{x}^{(n)}$から$\,n+1\,$番目の近似解$\,\bm{x}^{(n+1)}$は、以下のようになる。

$\quad\bm{x}^{(n+1)}=\bm{D}^{-1}\left(\bm{b}+\bm{A1}\,\bm{x}^{(n)}\right)\quad\cdots\,$(3)

この方法はヤコビ法と呼ばれるもので、$\bm{x}^{(n+1)}$の近似値の計算に全てその前の値$\,\bm{x}^{(n)}$を使う。

これとは違い、$\bm{x}^{(n+1)}$の各成分の計算が終わると、それを直ちに使うのがガウス・ザイデル法である。

$\quad x_i^{(n+1)}=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-(a_{i1}x_1^{(n+1)}+a_{i2}x_2^{(n+1)}+\cdots+a_{ii+1}x_{i+1}^{(n)}+a_{ii+2}x_{i+2}^{(n)}+\cdots+a_{im}x_m^{(n)})\right\}\quad\cdots\,$(4)

このガウス・ザイデル法をもう少し改造したのが SOR法 ( Successive Over-Relaxation )である。ガウス・ザイデル法の解の修正は、$\bm{x}^{(n+1)}-\bm{x}^{(n)}\,$であったが、これをもっと大きなステップにするものである。
例えば、３行目の計算では加速係数$\,\omega\,$を使って、以下のように計算する。

$\left\{\begin{array}{l}x_3^{(n+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-(a_{31}x_1^{(n+1)}+a_{34}x_4^{(n)}+\cdots+a_{3m}x_{m}^{(n)})\right\}\quad\cdots\,(5)\\[2pt]
x_3^{(n+1)}=x_3^{(n)}+\omega(x_3^{(n+1)}-x_3^{(n)})\qquad\qquad\cdots\,(6)\end{array}\right.$

ここで問題なのは$\,\omega\,$の値の取り方である。$\omega=1.0\,$だとガウス・ザイデル法となる。流れ解析の差分法のポアソン方程式の解法では、$\omega=1.2\,$位を取るケースが多いようである。

In [3]:

import numpy as np
#  sor(A,b,w)  A は行列  b は定数項  w : 加速係数( 1< w < 2 )
def sor(A,b,w,max_iter=512,eps=1.e-6):  
    D=np.diag(np.diag(A)) #  対角行列
    A1=A-D                #  対角行を除いた行列
    D1=np.linalg.inv(D)   #  逆行列（各値の逆数をとる）
    M=D1@A1               #  対角行の逆数で割った行列
    c=D1@b                #  定数項も対角行の逆数で割る
    n=len(b)              #  次元
    x=np.full(n,0.)       #  x の初期値 = 0.
    
    for i in range(max_iter):
        err=0.
        for j in range(n):
            s=x[j]
            x[j]=(1-w)*s+w*(c[j]-M[j]@x)
            err+=abs((x[j]-s)/x[j])
            if err<eps: return x,i

・実行テスト

In [4]:

a=np.array([[9,1,2],
           [1,9,1],
           [2,1,9]])
b=np.array([9,18,-5])
x,i=sor(a,b,1.2)
print ('反復回数 = ',i)
print (x)

反復回数 =  10
[ 1.00000001  1.99999999 -0.99999974]

In [ ]:

ラグランジュ微分

$\def\bm{\boldsymbol}$$\def\di{\displaystyle}$$\def\ve{\varepsilon_0}$$\def\dd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$$\def\dda#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$

1. 流体粒子と流体運動の扱い

流体を考える際、2つの捉え方がある。
[1]　ラグランジュの方法（ Lagrange ）
物体（固体）の運動と同様、各流体粒子に着目して、各流体粒子が時間の経過とともに、どのように動くかを追跡していく方法である。
この方法は、一つの流体粒子の経路や加速度を知る上では便利ではあるが、流れ場が全体的にどのようになっているかを知るには適さない。
[2]　オイラーの方法（ Euler ）
この方法は、特定の流体粒子を追跡するのではなく、流れ場全体の様子をそれぞれの時刻に一度に調べる方法である。すなわち、流速や圧力を、座標$\,\,x\,,\,y\,,\,z\,,\,$および時間$\,t\,$の関数として表す。この方法は、流体の運動を調べる流体力学において、一般に用いられる方法である。

2. テーラー展開

まずは、数学の準備をします。
[1]　1 変数でのテーラー展開
$\quad$関数$\,f(x)\,$において、点$\,a\,$の周りでテーラー展開すると
\begin{equation}f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\dots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots
\end{equation}$\quad$ここで、$\,x\,\to\,x+\Delta x\,\quad a\,\to\,x\,$ と置き換えると
\begin{equation}
f(x+\Delta x)=f(x)+(\Delta x)\,f^{\prime}(x)+\dfrac{(\Delta x)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)+\cdots+\dfrac{(\Delta x)^n}{n!}f^{(n)}(x)+\cdots
\end{equation}[2]　多変数のテーラー展開\begin{align}f(x+\Delta x,& y+\Delta y,z+\Delta z)=f(x,y,z)+\left(\Delta x \dd{}{x}+\Delta y\dd{}{y}+\Delta z\dd{}{z}\right)f(x,y,z)\\ &+\dfrac{1}{2!}\left(\Delta x \dd{}{x}+\Delta y\dd{}{y}+\Delta z\dd{}{z}\right)^2f(x,y,z)+\cdots \end{align}$\quad$ここで、$\bm{x}=^t(\,x,\,y,\,z)\,\,\,\,\bm{h}=^t(\Delta x,\Delta y,\Delta z)\,$とおくと、\begin{equation} f(\bm{x}+\bm{h})=f(\bm{x})+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}(\nabla\cdot\bm{h})^nf(\bm{x})\qquad\text{と表すことができる}\end{equation}

3. ラグランジュ微分

ラグランジュ微分とは、オイラーの方法とラグランジュの方法の両方の流儀を混ぜ合わせたような概念である。時々刻々と移動していく流体の「ある一部分」を追いかけながら、その「一部分」が持つ物理量$\,A\,$の時間的な変化を考える。
時刻$\,t\,$に、位置$\,\bm{x}=(x,y,z)\,$にある速度$\,\bm{u}=(u_x,u_y,u_z)\,$の流体の持つ物理量を$\,A(x,y,z,t)\,$と表す。$\,\Delta t\,$秒後にはこの流体はおよそ$\,(\,x+u_x\Delta t,\,y+u_y\Delta t,\,z+u_z\Delta t\,)\,$付近に移動していることであろう。つまり、$\,\Delta t\,$秒後がの移動後の地点での物理量は$\,A(x+u_x\Delta t,y+u_y\Delta t,z+u_z\Delta t,t+\Delta t)\,$となる。
これをテーラー展開の一次で近似すると\begin{align}A(x+u_x\Delta t,& y+u_y\Delta t,z+u_z\Delta t,t+\Delta t)\\&\doteq A(x,y,z,t)+\dd{A}{x}u_x\Delta t+\dd{A}{y}u_y\Delta t+\dd{A}{z}\Delta t+\dd{A}{t}\Delta t\end{align}変化分を計算すると\begin{align}\Delta A&\doteq A(x+u_x\Delta t,y+u_y\Delta t,z+u_z\Delta t,t+\Delta t)-A(x,y,z,t)\\&\doteq\dd{A}{x}u_x\Delta t+\dd{A}{y}u_y\Delta t+\dd{A}{z}u_z\Delta t+\dd{A}{t}\Delta t\\&=\left(\dd{A}{x}u_x+\dd{A}{y}u_y+\dd{A}{z}u_z+\dd{A}{t}\right)\Delta t\qquad\cdots\quad\text{(1)}\end{align}これを時間経過による変化割合で表すと\begin{equation}\dfrac{\Delta A}{\Delta t}\doteq\dd{A}{x}u_x+\dd{A}{y}u_y+\dd{A}{z}u_z+\dd{A}{t}\qquad\cdots\quad\text{(2)}\end{equation}(1)式の近似には$\,\Delta t\,$の2乗以上に比例する程度の誤差があり、それを$\,\Delta t\,$で割った(2)式には$\,\Delta t\,$あるいは$\,\Delta t\,$の2乗以上に比例するような誤差が含まれているが、ここで$\,\Delta t\,\to\,0\,$の極限を考えれば無視できるようになるので、それを等式を使って次のように表す。\begin{equation}\dfrac{DA}{Dt}=\dd{A}{x}u_x+\dd{A}{y}u_y+\dd{A}{z}u_z+\dd{A}{t}\qquad\cdots\quad\text{(3)}\end{equation}これが、「ラグランジュ微分」「物質微分」などと呼ばれているものである。これは、流体と一緒に流れている人から見た、その地点での物理量$\,A\,$の時間的な変化率である。
物理量$\,A\,$を省いて、順序を変えると以下のようになる。
\begin{equation}\dfrac{D}{Dt}\equiv u_x\dd{}{x}+u_y\dd{}{y}+u_z\dd{}{z}+\dd{}{t}=\bm{u}\cdot\nabla+\dd{}{t}\quad\cdots\quad\text{(4)}\end{equation}流体の加速度をその点での微分とラグランジュ微分で比べたのが、下の図である。

ベクトル解析

$\def\bm{\boldsymbol}$
$\def\di{\displaystyle}$
$\def\ve{\varepsilon_0}$
$\def\dd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$
$\def\dda#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
光の速度で、ベクトル解析の公式を使ったので、まとめておきます。

１．はじめに

(1) ベクトルの内積
$\quad\bm{a}\cdot\bm{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=\di\sum^3_ia_ib_i$
(2) ベクトルの外積
$\quad\bm{a}\times\bm{b}=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$
$\quad(\bm{a}\times\bm{b})_i=\di\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{i,j,k}\,a_jb_k$
\begin{align}\hspace{-20mm}\epsilon_{i,j,k}=1&\,:(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\
-1&\,:(i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\\
0&\,: other\end{align}
3. スカラー三重積
$\quad\bm{A}\cdot(\bm{B}\times\bm{C})=\bm{B}\cdot(\bm{C}\times\bm{A})=\bm{C}\cdot(\bm{A}\times\bm{B})$
\begin{align}
\bm{A}\cdot(\bm{B}\times\bm{C})&=A_x(\bm{B}\times\bm{C})_x+A_y(\bm{B}\times\bm{C})_y+A_z(\bm{B}\times\bm{C})_z\\[2pt]
&=A_x(B_yC_z-B_zC_y)+A_y(B_zC_x-B_xC_z)+A_z(B_xC_y-B_yC_x)\\[2pt]
&=A_xB_yC_z-A_xB_zC_y+A_yB_zC_x-A_yB_xC_z+A_zB_xC_y-A_zB_yC_x\\[2pt]
&=B_x(C_yA_z-C_zA_y)+B_y(C_zA_x-C_xA_z)+B_z(C_xA_y-C_yA_x)\\[2pt]
&=B_x(\bm{C}\times\bm{A})_x+B_y(\bm{C}\times\bm{A})_y+B_z(\bm{C}\times\bm{A})_z\\
&=\bm{B}\cdot(\bm{C}\times\bm{A})\\[-40pt]
\end{align}
$\qquad$また、$\quad\bm{A}\cdot(\bm{B}\times\bm{C})=\left|\begin{array}{ccc}A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\C_x & C_y & C_z\end{array}\right|\qquad$である。

4. ベクトル三重積
$\quad\bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C})=(\bm{A}\cdot\bm{C})\bm{B}-(\bm{A}\cdot\bm{B})\bm{C}$
\begin{align}
(\bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C}))_x&=A_y(\bm{B}\times\bm{C})_z-A_z(\bm{B}\times\bm{C})_y\\
&=A_y(B_xC_y-B_yC_x)-A_z(B_zC_x-B_xC_z)\\
&=(A_yC_y+A_zB_z)B_x-(A_yB_y+A_zB_z)C_x\\
&=(A_xC_x+A_yC_y+A_zB_z)B_x-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)C_x\\
&=(\bm{A}\cdot\bm{C})B_x-(\bm{A}\cdot\bm{B})C_x\\[6pt]
&\hspace{-12mm}\text{同様にして}\\[2pt]
(\bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C}))_y&=(\bm{A}\cdot\bm{C})B_y-(\bm{A}\cdot\bm{B})C_y\\[2pt]
(\bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C}))_z&=(\bm{A}\cdot\bm{C})B_z-(\bm{A}\cdot\bm{B})C_z\\[8pt]
&\hspace{-18mm}\therefore\quad \bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C})=(\bm{A}\cdot\bm{C})\bm{B}-(\bm{A}\cdot\bm{B})\bm{C}
\end{align}
5. 微分演算子
$\quad\nabla=\left(\,\dd{}{x}\,,\,\dd{}{y}\,,\,\dd{}{z}\,\right)$

２．勾配、発散、回転

勾配（ grad ）：grad$\,\phi(\bm{r})=\nabla\,\phi(\bm{r})\equiv\left(\,\dd{}{x}f\,,\,\dd{}{y}f\,,\,\dd{}{z}f\,\right)$

発散（ div ）：div$\,\bm{A}(\bm{r})=\nabla\cdot\bm{A}(\bm{r})\equiv\,\dd{}{x}A_x+\dd{}{y}A_y+\dd{}{z}A_z$

回転（ rot ）：rot$\,\bm{A}(\bm{r})=\left(\dd{}{y}A_z-\dd{}{z}A_y\,,\,\dd{}{z}A_x-\dd{}{x}A_z\,,\,\dd{}{x}A_y-\dd{}{y}A_x\,\right)$
$\hspace{8mm}$または $\quad(\nabla\times\bm{A})_i=\di\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}(\nabla)_j(\bm{A})_k=\di\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}\,\partial_jA_k$

３．計算例－１

$\quad\bm{r}=(x,y,z)\quad r=|\bm{r}|\ne 0\quad$とする。

(1)$\,\nabla\,r$
\begin{align}
\nabla\,r&=\nabla(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\[2pt]
&=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,,\,\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,,\,\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,\right)\\[2pt]
&=\dfrac{\bm{r}}{r}
\end{align}
(2)$\,\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)$
\begin{align}
\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)&=\left(\dd{}{x}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,,\,\dd{}{y}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,,\,\dd{}{z}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,\right)\\[3pt]
&=\left(\,\dfrac{-x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,,\,\dfrac{-y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,,\,\dfrac{-z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,\right)\\[3pt]
&=-\dfrac{\bm{r}}{r^3}
\end{align}
(3)$\,\nabla\cdot\bm{r}$
\begin{equation}
\nabla\cdot\bm{r}=\dd{}{x}x+\dd{}{y}y+\dd{}{z}z=3
\end{equation}
(4)$\,(\nabla\cdot\nabla)\,r$
\begin{align}
(\nabla\cdot\nabla)r&=\left(\dda{}{x^2}+\dda{}{y^2}+\dda{}{z^2}\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\[2pt]
&=\dd{}{x}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\dd{}{y}\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\dd{}{z}\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\[2pt]
&=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\dfrac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\
& +\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\dfrac{y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\
& +\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\dfrac{z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\[2pt]
&=\dfrac{3}{r}-\dfrac{(x^2+y^2+z^2)}{r^3}=\dfrac{2}{r}
\end{align}
(5)$\,\nabla\times\bm{r}$
\begin{equation}
\nabla\times\bm{r}=\left(\dd{}{z}y-\dd{}{y}z\,,\,\dd{}{x}z-\dd{}{z}x\,,\,\dd{}{y}x-\dd{}{x}y\right)=\bm{0}
\end{equation}
(6)$\,\nabla\times(\nabla\phi)\hspace{10mm}\mathrm{rot}\,\,\mathrm{grad}\,\,\phi$
\begin{align}
\nabla\times(\nabla\phi)&=\left(\,\dd{}{y}(\dd{\phi}{z})-\dd{}{z}(\dd{\phi}{y})\,\,,\right.\\
&\hspace{20mm}\dd{}{z}(\dd{\phi}{x})-\dd{}{x}(\dd{\phi}{z})\,\,,\\
&\hspace{30mm}\left.\dd{}{x}(\dd{\phi}{y})-\dd{}{y}(\dd{\phi}{x})\,\right)\\
&=0\hspace{40mm}\because\,\,\dd{}{y}(\dd{\phi}{z})=\dd{}{z}(\dd{\phi}{y})
\end{align}
(7)$\,\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})\hspace{10mm}\mathrm{div}\,\,\mathrm{rot}\,\,\bm{A}$
\begin{align}
\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})&=\dd{}{x}(\dd{A_z}{y}-\dd{A_y}{z})+\dd{}{y}(\dd{A_x}{z}-\dd{A_z}{x})+\dd{}{z}(\dd{A_y}{x}-\dd{A_x}{y})\\[3pt]
&=\dfrac{\partial^2A_z}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2A_y}{\partial x\partial z}+\dfrac{\partial^2A_x}{\partial y\partial z}-\dfrac{\partial^2A_z}{\partial y\partial x}+\dfrac{\partial^2A_y}{\partial z\partial x}-\dfrac{\partial^2A_x}{\partial z\partial y}\\[3pt]
&=0\hspace{40mm}\because\,\,\,\dfrac{\partial^2A_z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2A_z}{\partial y\partial x}
\end{align}
(8)$\,\nabla\times(\nabla\times\bm{A})\hspace{10mm}\mathrm{rot}\,\,\mathrm{rot}\,\,\bm{A}$
\begin{align}
(\nabla\times(\nabla\times\bm{A}))_x&=\dd{}{y}\left(\dd{A_y}{x}-\dd{A_x}{y}\right)-\dd{}{z}\left(\dd{A_x}{z}-\dd{A_z}{x}\right)\\[3pt]
&=\dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x}A_y-\dda{}{y^2}A_x-\dda{}{z^2}A_x+\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial x}A_z\\[3pt]
&=\dda{}{x^2}A_x+\dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x}A_y+\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial x}A_z-\left(\dda{}{x^2}+\dda{}{y^2}+\dda{}{z^2}\right)A_x\\[3pt]
&=\dd{}{x}\left(\dd{A_x}{x}+\dd{A_y}{y}+\dd{A_z}{z}\right)-\Delta A_x\\[3pt]
&=\dd{}{x}(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta A_x\\[3pt]
&\hspace{-20mm}\text{同様に}\\
(\nabla\times(\nabla\times\bm{A}))_y&=\dd{}{y}(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta A_y\\[3pt]
(\nabla\times(\nabla\times\bm{A}))_z&=\dd{}{z}(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta A_z\\[3pt]
&\hspace{-20mm}\text{よって}\\[2pt]
\nabla\times(\nabla\times\bm{A})&=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta\bm{A}
\end{align}

光の速度

$\def\bm{\boldsymbol}$
$\def\di{\displaystyle}$
$\def\ve{\varepsilon_0}$
$\def\dd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}$
$\def\dda#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}$
オーソドックスな形で、光（電磁波）の真空中の速度を求めてみる。

［１］マックスウェル方程式

光も電磁波なので、マックスウェルの方程式に従う。マックスウェル方程式は４つに分けられる。
(1)電場の発散
\[\mbox{div }\bm{E}=\nabla\cdot\bm{E}=\dfrac{\rho}{\ve}\tag{1.1}\]
電場の源が電荷であり、電場が電荷から放射状であることを表す。
ここで $\,\rho\,$は電荷密度で、$\ve\,$は真空の誘電率である。
(2)電場の回転
\[\mbox{rot }\bm{E}=\nabla\times\bm{E}=-\dd{\bm{B}}{t}\tag{1.2}\]
磁束密度の変化により電場が生じる　Faradayの法則=電磁誘導の法則
(3)磁場の発散
\[\mbox{div }\bm{B}=\nabla\cdot\bm{B}=0\quad\tag{1.3}\]
磁場には源がない
(4)磁場の回転
\[\mbox{rot }\bm{B}=\nabla\times\bm{B}=\mu_0(\bm{j}+\ve\dd{\bm{E}}{t})\tag{1.4}\]
電流及び電場の変化が磁場を生むことを表す。Ampére-Maxwellの法則
ここで$\,\mu_0\,$は真空の透磁率である。

［２］マックスウェル方程式の展開

真空中を伝わる電磁波について考えたいので, 電荷密度はいたるところで$\,0\,$であるとする. よって電流密度も$\,0\,$であるので、次の４つの式が得られる。
\begin{align}
\mbox{div }\bm{E}&=0 \tag{2.1}\\
\mbox{rot }\bm{E}&=-\dd{\bm{B}}{t} \tag{2.2}\\
\mbox{div }\bm{B}&=0 \tag{2.3}\\
\mbox{rot }\bm{B}&=\mu_0\ve\dd{\bm{E}}{t} \tag{2.4}
\end{align}
場の回転を改めて場とみなして、回転を調べる。式$\,(2.2)\,$を回転すると
\begin{align}
\nabla\times(\nabla\times\bm{E})&=-\dd{}{t}(\nabla\times\bm{B})\\
&=-\mu_0\dd{}{t}\left(\bm{j}+\ve\dd{\bm{E}}{t}\right)\\
&=-\mu_0\dd{\bm{j}}{t}-\mu_0\ve\dda{\bm{E}}{t^2}\tag{2.5}
\end{align}
となり、電流密度の他には電場のみの閉じた形となる。ここでは、ベクトル解析のベクトルの回転の回転からラプラシアンを導く、以下の公式を用いる。
\[\nabla\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta\bm{A}\qquad\because\,\,\Delta\equiv\nabla\cdot\nabla\tag{2.6}\]
この公式を$\,(2.5)\,$式の右辺に適用する。
\begin{align}
\nabla\times(\nabla\times\bm{E})&=\nabla(\nabla\cdot\bm{E})-\Delta\bm{E}\\[3pt]
&=0-\Delta\bm{E}\qquad\,\because\,\,\nabla\cdot\bm{E}=0\quad(2.1)\,\,\text{より}\\[3pt]
&=-\Delta\bm{E}\tag{2.7}
\end{align}
$\,(2.5)\,$式と$\,(2.6)\,$をあわせると
\[\Delta\bm{E}-\mu_0\ve\dda{\bm{E}}{t^2}-\mu_0\dd{\bm{j}}{t}=0\tag{2.8}\]
ここの電流は$\,0\,$なので、第3項は消せる。ここで、$x\,$成分で考えると。
\[\dda{\bm{E}}{x^2}-\mu_0\ve\dda{\bm{E}}{t^2}=0\tag{2.10}\]
の形の波動方程式が得られる。

［3］波動方程式の一般解

この方程式の解は次のような形で表される。例えば$\,\bm{E}\,$の振幅を$\,z\,$軸にとると、解は
\[E_z=f(x-vt)+g(x+vt)\tag{3.1}\]
の形で表せる。ここで、$f\,$と$\,g\,$は任意の関数であり、$f(x − vt)\,\,$は$\,x\,$軸の正の向きに速さ$\,v\,$で
進む波動を表し、$g(x + vt)\,\,$は$\,x\,$軸の負の向きに速さ$\,v\,$で進む波動を表す。
ここで、式$\,(2.2)\,$を成分に分解する。
\begin{align}
\dd{E_z}{y}-\dd{E_y}{z}&=-\dd{B_x}{t}\\
\dd{E_x}{z}-\dd{E_z}{x}&=-\dd{B_y}{t}\\
\dd{E_y}{x}-\dd{E_x}{y}&=-\dd{B_z}{t}
\end{align}
ここで、$E_x=0\,\,,\,\,E_y=0\,$なので、次のような結果となる
\begin{align}
\dd{B_x}{t}&=0\\
\dd{B_y}{t}&=f^{\prime}(x-vt)+g^{\prime}(x+vt) \tag{3.2}\\
\dd{B_z}{t}&=0
\end{align}
式$\,(3.2)\,$を$\,t\,$で積分すると
\[B_y=-\dfrac{1}{v}f(x-vt)+\dfrac{1}{v}g(x+vt)\tag{3.3}\]
となる。つまり、$E_z\,$と$\,B_y\,$は、同じ関数$\,f\,$と$\,g\,$で表され、両者が互いに組み合って、離れることなく、同じ速さ$\,v\,$を持つ波動となって$\,x\,$軸を伝搬する。

電場と磁場の進行波

［4］電磁波の伝搬する速さ

波動方程式の一般解と波動方程式を再掲する。
\begin{align}
&E_z=f(x-vt)+g(x+vt)\tag{3.1}\\
&\dda{\bm{E}}{x^2}-\mu_0\ve\dda{\bm{E}}{t^2}=0\tag{2.10}
\end{align}
この$\,(3.1)\,$式を$\,(2.10)\,$に代入する。このとき、$x-vt=p\,\,,\,\,x+vt=q\,\,$とする。
\[\dd{E_z}{x}=\dd{f}{x}+\dd{g}{x}=\dd{f}{p}\dd{p}{x}+\dd{g}{q}\dd{q}{x}=\dd{f}{p}+\dd{g}{q}\quad\text{なので}\]
\[\dda{E_z}{x^2}=\dda{f}{p^2}+\dda{g}{q^2}\qquad\text{となる。次に時間で微分する。}\]
\[\dd{E_z}{t}=\dd{f}{t}+\dd{g}{t}=\dd{f}{p}\dd{p}{t}+\dd{g}{q}\dd{q}{t}=-v\dd{f}{p}+v\dd{g}{q}\quad\text{なので}\]
\[\dda{E_z}{t^2}=v^2\dda{f}{p^2}+v^2\dda{g}{q^2}=v^2\dda{E_z}{x^2}\qquad\text{となるので}\quad (2.10)\,\text{より}\]
\[v^2=\dfrac{1}{\mu_0\ve}\qquad\text{よって}\qquad v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\ve}}\tag{4.1}\]
真空の誘電率$\,\ve\,$と透磁率$\,\mu_0\,$の値

$\qquad\ve=\dfrac{10^7}{4\pi c^2}\quad[\,\mathrm{C}\cdot\mathrm{N}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-2}\,\,]\hspace{20mm}\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\quad[\,\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{A}^{-2}\,\,]\quad$を代入すると

$\qquad\quad v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\ve}}=c\qquad$となり、電磁波の速度が光速と一致する。

まあ、誘電率の定義からして、光速を使っているので当然の結果である。

二重振り子

1.経緯

放送大学の「物理と化学のための数学演習」という授業のレポートの課題のひとつに「二重振り子」があったので、忘れないようにここにメモっておきます。

2.レポート課題

天井から長さ $\ell$ の紐で吊るされた質量 $M$ の錘に、もう一つの同じ長さ $\ell$ の紐で同じ質量の錘が垂れ下がった、二重振り子の微小振動を考える。この問題は自由度２の連成振動となっている。以下の問いに答えよ。
$\textbf{[1]}$ それぞれの紐が鉛直線となす角度を $\theta_1\,,\,\theta_2\,$とし、近似式、$\sin\theta\simeq\theta\,$を用いて、２つの錘の運動方程式を導き、この連成振動の基準座標と基準振動数を求めよ。紐の質量は小さいとして無視する。
$\textbf{[2]}$ ２つの紐を変形しない同じ質量 $m$ の棒で置き換えるとどうなるか。棒の重心はその真ん中にあるとする。

※　2. の問題は、私のやり方が拙かったせいか、解析解が得られませんでした。そこで、1. だけをここにメモります。

3.方程式の導出

最初のオモリの座標を $(x_1,y_1)\,$ , そこから垂れ下がったオモリの座標を $(x_2,y_2)\,$ とする。

$x_1=\ell\sin\theta_1\qquad y_1=-\ell\cos\theta_1$
$x_2=x_1+\ell\sin\theta_2=\ell(\sin\theta_1+\sin\theta_2)$
$y_2=y_1-\ell\cos\theta_2=-\ell(\cos\theta_1+\cos\theta_2)$
$\dot{x}_1=\ell\cos\theta_1\dot{\theta}_1\simeq\ell\dot{\theta}_1$
$|\dot{x}_1|^2=\ell^2\dot{\theta}_1^2$
$\dfrac{1}{2}|\dot{x}_1|^2=\dfrac{\ell^2}{2}\dot{\theta}_1^2$
$\dot{x}_2=\ell(\cos\theta_1\dot{\theta}_1+\cos\theta_2\dot{\theta}_2)\simeq\ell(\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)$
$\dfrac{1}{2}|\dot{x}_2|^2=\dfrac{\ell^2}{2}(\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)^2$

$\theta_1\,,\,\theta_2\,$が小さいとするので、運動エネルギーは $\quad T=\dfrac{M\ell^2}{2}\dot{\theta}_1^2+\dfrac{M\ell^2}{2}(\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)^2$

ポテンシャル・エネルギーは$\quad U=-Mg\ell(\cos\theta_1+\cos\theta_1+\cos\theta_2)$

よって、ラグラジアン$\,L\,$は

$L=T-U=\dfrac{M\ell^2}{2}(2\dot{\theta}_1^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2+\dot{\theta}^2)+Mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)$

$\dfrac{\partial L}{\partial\theta_1}\,=-2Mg\ell\sin\theta_1\simeq -2Mg\ell\theta_1\hspace{12mm}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_1}=M\ell^2(2\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)$

$\dfrac{\partial L}{\partial\theta_2}\,=-Mg\ell\sin\theta_2\simeq -Mg\ell\theta_2\hspace{16mm}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_2}=M\ell^2(\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)$

オイラー・ラグランジュ方程式は$\quad\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}\right)=\dfrac{\partial L}{\partial q}\,\,$なので

$2\ddot{\theta}_1+\ddot{\theta}=-2\dfrac{g}{\ell}\theta_1\qquad \ddot{\theta}_1+\ddot{\theta}_2=-\dfrac{g}{\ell}\theta_2\quad$の関係が得られる。
これより
$\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\ddot{\theta}_1\\[2pt] \ddot{\theta}_2\end{array}\right)=\dfrac{g}{\ell}\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}-2&1\\[2pt]2&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\theta_1\\[2pt] \theta_2\end{array}\right)\qquad$の連立微分方程式が導かれる。
$\hspace{28mm}$行列$\,\,K\,$

4.方程式の解法

この行列 $K$ を対角化することで、方程式を解く。まず $K$ の固有値と固有ベクトルを求める。
固有値 $\lambda$ は、固有ベクトル $\textbf{x}$ と $K\textbf{x}=\lambda\textbf{x}$ の関係にあるので、$\det{(K-\lambda I)}=0$ より
$\lambda^2+4\lambda+2=0\qquad \lambda=-2\pm\sqrt{2}\qquad$が得られる。

$\textbf{(4-1)} \,\,\lambda_1=-2+\sqrt{2}$ のとき

$\quad(K-\lambda_1 I)=\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}-\sqrt{2}&1\\[2pt]2&-\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}x_1\\[2pt] x_2\end{array}\right)=0\qquad$ より

$\quad x_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\qquad x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\qquad\quad \textbf{x}_1=\left(\begin{array}{@{\,}r@{\,}}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[2pt]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$

$\textbf{(4-2)} \,\,\lambda_2=-2-\sqrt{2}$ のとき

$\quad(K-\lambda_2 I)=\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}\sqrt{2}&1\\[2pt]2&\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}x_1\\[2pt] x_2\end{array}\right)=0\qquad$ より

$\quad x_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\qquad x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\qquad\quad \textbf{x}_2=\left(\begin{array}{@{\,}r@{\,}}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[2pt]-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$

5.正則行列の逆行列

固有ベクトルを縦に並べた行列 $P$ を用いて $P^{-1}KP$ として $K$ を対角化する。

$\quad P=\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[3pt]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}&-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}\right)\qquad\quad P^{-1}=\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\[3pt]\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\end{array}\right)$

この $P^{-1}$ を用いて、新しい変数 $\Theta_1\,\,,\,\,\Theta_2\,\,$を定義する。

$\quad\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\Theta_1\\[2pt] \Theta_2\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\theta_1\\[2pt]\theta_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\[3pt]\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\theta_1\\[2pt]\theta_2\end{array}\right)$

元の連立微分方程式は、変数　$\Theta_1\,\,,\,\,\Theta_2$\,\,$に対する以下の微分方程式と等価である。

$\quad\dfrac{d}{dt}\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\Theta_1\\[2pt] \Theta_2\end{array}\right)=\dfrac{g}{\ell}\left(\begin{array}{@{\,}rr@{\,}}-2+\sqrt{2}&0\\[3pt]0&-2-\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{@{\,}c@{\,}}\Theta_1\\[2pt] \Theta_2\end{array}\right)$

最終的に、運動は２つの固有振動の足し合わせで表され、それぞれの固有振動数 $\omega_1\,\,,\,\,\omega_2\,\,$は、

$\quad\omega_1=\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}\quad,\quad \omega_1=\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}\quad$ となる。

弾性衝突

放送大学のオンライン授業で「力学演習」を履修している。そこでの練習問題で一次元の弾性衝突問題があり、すっかり忘れているので再確認のため、計算してみました。

図のような２球で考える。向きは$\,x\,$軸方向に正として、初速度をそれぞれ$\,v_1\,\,,\,v_2\,$とする。衝突後の速度をそれぞれ$\,v_3\,\,,\,v_4\,$とする。弾性衝突なので、運動量とエネルギーが保存する。

・運動量保存
$\qquad m_A\,v_1+m_B\,v_2=m_A\,v_3+m_B\,v_4\quad\cdots\,$(1)
・エネルギー保存
$\qquad \dfrac{1}{2}m_A\,v_1^2+\dfrac{1}{2}m_B\,v_2^2=\dfrac{1}{2}m_A\,v_3^2+\dfrac{1}{2}m_B\,v_4^2\quad\cdots\,$(2)

式(1)から、$\quad v_4=\dfrac{m_A(v_1-v_3)+m_Bv_2}{m_B}\quad\cdots\,$(3)
式(2)から、$\quad v_4^2=\dfrac{m_A(v_1^2-v_3^2)+m_Bv_2^2}{m_B}\quad\cdots\,$(4)
式(3)を２乗すると、
$\quad v_4^2=\dfrac{m_A^2v_1^2-2m_A^2v_1v_3+m_A^2v_3^2+m_B^2v_2^2+2m_Am_Bv_1v_2-2m_Am_Bv_2v_3}{m_B^2}\quad\cdots\,$(5)
式 (4)$\,=\,$(5) なので、
$\quad m_Am_Bv_1^2-m_Am_Bv_3^2+m_B^2v_2^2$
$\qquad\qquad =m_A^2v_1^2-2m_A^2v_1v_3+m_A^2v_3^2+m_B^2v_2^2+2m_Am_Bv_1v_2-2m_Am_Bv_2v_3\quad\cdots\,$(6)

$\quad m_A^2v_1^2-2m_Av_1v_3+m_A^2v_3^2+2m_Am_Bv_1v_2-2m_Am_Bv_2v_3-m_Am_Bv_1^2+m_Am_Bv_3^2=0\,\cdots\,$(7)

$\quad(m_A+m_B)v_3^2-2(m_Av_1+m_Bv_2)v_3+m_Av_1^2+2m_Bv_1v_2-m_Bv_1^2=0\quad\cdots\,$(8)

この式(8) を$\,v_3\,$の２次方程式として解くと
$\quad v_3=\dfrac{m_Av_1+m_Bv_2\pm\sqrt{m_B^2(v_1-v_2)^2}}{m_A+m_B}=\dfrac{m_Av1+m_Bv_2\pm m_B|v_1-v_2|}{m_A+m_B}\quad\cdots\,$(9)

ここで、球 A の速度が B の速度より大きいケースで考えてみる。 $\,v_1\ge v_2$
$\,\pm\,$の$\,+\,$では、$\,v_3=v_1\,$となり、すり抜ける形なので$\,-\,$を採用する。

$\quad v_3=\dfrac{m_Av_1-m_Bv_1+2m_Bv_2}{m_A+m_B}\quad\cdots\,$(10)

ここで、両方の球の質量が同じ場合、$\,v_3=v_2\,$となり、A と B の運動量が入れ替わることになる。

◇ 大小球の正面衝突

大小の球を正面衝突させた場合を考える。
Ａは$\,m_A=3m\,$とし、Ｂは$\,m_B=m\,$とする。
速度はともに$\,v_1=v_2=v_0\,$(符号は正負となる)として、正面からの衝突とする。

式(10)と式(1)により

$\quad v_3=\dfrac{3mv_0-mv_0-2mv_0}{3m+m}=0\quad v_4=\dfrac{3mv_0-mv_0}{m}=2v_0\,$となる。

結局、Ａは停止しＢは速度$\,2v_0\,$で反対側に跳ね返ることになる。

◇ ３球での衝突問題

『中川のビジュアル物理学教室』のページの中の「解説：一次元衝突」に次のような３球の衝突が紹介されていました。(画像は中川氏のページのものを使わせてもらいました)

静止している球Ｂ，Ｃに，その２倍の質量をもつ球Ａを$\,v_0\,$で弾性衝突したらどうなるだろうか？

この問題は，過去に青学大の入試問題として出題されたことがあるという事でした。

まず、Ａが静止しているＢに衝突する時点を考える。式(10) に$\,m_A=2m\,,\,m_B=m\,,\,v_1=v_0\,,\,v_2=0\,$を代入すると、
$\quad v_A=v_3=\dfrac{2mv_0-mv_0}{3m}=\dfrac{1}{3}v_0\quad\cdots\,$(11)
静止していたＢの速さ$\,v_B\,$は、式(11)の値を式(1)に代入すると$\,v_B=v_4=\dfrac{4}{3}v_0\,$となる。
Ｂがこの速度$\,v_B\,$で、静止しているＣに衝突すると
ＢとＣは同質量なので、式(11)より、Ｂは停止してＣは速度$\,v_C=v_B\,$で動き出すことになる。
停止した(１回動いて停止した形になる)ＢにＡが$\,v_A=\dfrac{1}{3}v_0\,$で衝突することになる。
同じく、式(11)に代入すると、再度のＡの速度$\,v_A’\,$は
$\quad v_A’=\dfrac{2m\frac{1}{3}v_0-m\frac{1}{3}v_0}{3m}=\dfrac{1}{9}v_0\quad\cdots\,$(12)
これを式(1)に代入すると$\quad2m\dfrac{1}{3}=2m\dfrac{1}{9}v_0+mv_B’\,$より
Ａは$\,\dfrac{1}{9}v_0\,$で動き出し、Ｂは$\,\dfrac{4}{9}v_0\,$で動き出す。
Ｃは先程、Ｂの衝突で$\dfrac{4}{3}v_0\,$で動き出しているので、３球はバラバラになることになる。

振り子の実験

1.経緯

私が通学（通信制なので、通ってはいないが）している放送大学のゼミで、自宅での実験を動画撮影して皆で共有するという企画があったので、振り子の実験をやってみました。
振り子は小学$5$年生用の実験セットをAmazonから仕入れました。
（「ふりこのはたらき」 $730$円）

2.実験

ひもの長さは$30$cmとして、振れ角測定用に角度を書いた紙を付けました。大きく振った位置から重りを降ろした。
($2020.09.05$ 実施)
撮影は iPhone をそのままの設定で($30$f)三脚無しで行いました。時間は約$2$分間でした。
動画は DropBox 経由で、Windows マシンに落とした。再生で簡単にコマ落としが出来、時間の表示が $1/100$ 秒単位で出てくるので MovieMaker を使用した。（最近は MovieMaker はサポートされていないようですね）

撮影した動画の抜粋

編集は mac の iMovie を使用した。縦のプロジェクトが作れないので、ビデオクリップで横にして、編集して、出来た動画を QuickTime のplayer で開いて、縦に変換した。.mov 型の動画になるので、vlc で .mp4 に変換した。
（このページでは動画のサイズが$8$Mb なので抜粋版をつくりました）

3.実験結果

動画をMovieMaker でコマ落とし再生して、最大振幅の角度と時間を記録したのが下図です。

動画が$30$fなので、時間刻みが$1/30$sec単位となり、グラフは階段状になるが、振れ角が大きいと周期が長いという結果となった。

4.検討1：振幅の小さい場合

糸の張力$\,T\,$、重力$\,W\,$の合力$\,f^{\prime\prime}$が重りに掛かる。
$\quad W=mg$
$\quad f^{\prime\prime}=mg\sin\theta$
円周方向の重りの動く長さを$\,s\,$とすると
$\quad m\dfrac{d^2s}{dt^2}=-mg\sin\theta$
$\quad s=l\theta\,$なので$\quad\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-\dfrac{g}{l}\sin\theta$
振幅が小さいときは
$\quad\theta\approx\sin\theta\quad$とすることが出来るので
$\quad\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-\dfrac{g}{l}\theta\quad$とすることが出来、次のような一般解が得られる。

$\quad\theta=A\sin\sqrt{\dfrac{g}{l}}t+B\cos\sqrt{\dfrac{g}{l}}t$
ここで初期条件として$\quad t=0\quad d\theta/dt=0\quad\theta=\theta_0\quad$とすると
$\quad\theta=\theta_0\cos\sqrt{\dfrac{g}{l}}t\quad$が得られる。
周波数$\,f\,$は$\quad f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{l}}\quad$となる。
周期$\,T\,$は$\quad T=\dfrac{1}{f}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\quad$である。

今回は紐の長さを$\,30\,$cm としたので、

$\quad T=2\times 3.141593\times\sqrt{\dfrac{0.3}{9.80655}}=1.099..\,$(s) となった。結果のグラフを見ると、振れ角$20\,$度以下ではほぼこの周期となっているようである。

5.検討2：振幅が大きい場合

エネルギー保存則を用いて、振幅の大きい振り子の運動を計算する。振り子の最下点を原点とし、振りだし高さを$\,h_0\,$、$\Delta h\,$だけ降りた点の円周方向の速度を$\,v\,$とすると
$\quad\dfrac{1}{2}mv^2=mgl(\cos\theta-\cos\theta_0)\quad$なので
$\quad\therefore v=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}$
ここで、$\,v=\dfrac{ds}{dt}=l\dfrac{d\theta}{dt}\quad$なので
$\quad l\dfrac{d\theta}{dt}=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}\quad$より
$\quad dt=\sqrt{\dfrac{l}{2g}}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$

これを積分すると周期を求めることが出来る。
$\,t\,$の積分範囲を$\,4\,$分の$\,1\,$周期とすると、$\theta=0\,\to\,\theta_0$
$\displaystyle\int^{\frac{T}{4}}_0dt=\dfrac{T}{4}=\sqrt{\dfrac{l}{2g}}\displaystyle\int_0^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$

ここからの積分は振り子の計算その２を参考にしてください。

プロセスとしては$\quad\sin\phi=\sin(\theta/2)/\sin(\theta_0/2)\quad$とおいて、いくつかの計算を経て以下の積分となる。
$\quad T=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_0/2)\sin^2\phi}}$
この積分は楕円積分と呼ばれる。

5.1 楕円積分の計算

楕円積分を参照のこと。

第１種の楕円積分は以下のような式となる。

$\quad I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\phi}{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi}}=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\dfrac{2n-1)!!}{2n!!}\right\}^2a^{2n}$
ここで$\quad n!!\quad$は二重階乗である。

これより、$\,T\quad$は以下のようになる。
$\quad T=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_0/2)\sin^2\phi}}$

$\qquad=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\dfrac{(2n-1)!!}{2n!!}\right\}^2\left(\sin\dfrac{\theta_0}{2}\right)^{2n}$

具体的な計算は$\quad b=\sin\dfrac{\theta_0}{2}\quad$とおいて、振り子の長さ$\,l=0.3\,$m を使うと

$\quad　T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\left\{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2b^2+\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{4}\right)^2b^4+\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{4}\dfrac{5}{6}\right)^2b^6\right.$

$\qquad\qquad\qquad \left.+\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{4}\dfrac{5}{6}\dfrac{7}{8}\right)^2b^8+\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{4}\dfrac{5}{6}\dfrac{7}{8}\dfrac{9}{10}\right)^2b^{10}+\cdots\,\right\}$

$\qquad=1.099\times\left\{1+\dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{9}{64}b^4+\dfrac{25}{256}b^6+\dfrac{1225}{16384}b^8\right.$

$\qquad\qquad\qquad\left.+\dfrac{3969}{65536}b^{10}+\dfrac{53361}{1048576}b^{12}+\cdots\,\right\}$

この値と実験結果を併せて表示する。

測定データが $\quad 1/30\,$sec 単位であるが、まあ妥当な結果となったようである。

積分その１

積分その１

【１】$\,\,\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-ax}dx\quad$の計算

$\quad\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-ax}dx\quad\cdots\,$(1)

まず、$\,\displaystyle\int xe^{-ax}dx\,\,$の不定積分から計算する。

部分積分で考えると

$\quad\displaystyle\int xe^{-ax}dx=x(-ae^{-ax})+\dfrac{1}{a}\displaystyle\int e^{-ax}dx$
$\qquad=-axe^{-ax}+\dfrac{1}{a}\displaystyle\int e^{-ax}dx\quad\cdots\,$(2)

(1)式の定積分を考える時、まず次の極限を計算する。

$\quad\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}\quad\cdots\,$(3)

$\quad x\ge 0\,\,$のとき$\,\,e^x\ge\dfrac{x^2}{2}\,\,$を考える。

$\quad f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}\quad\cdots\,$(4)

とすると、$x\ge 0\quad$のとき、$f'(x)\gt 0\,\,,\quad f^{\prime\prime}\gt 0\quad$なので、$f(x)\gt 0\quad$である。よって

$\,\,e^x\ge\dfrac{x^2}{2}\,\,$が成り立つ。そこで

$\quad 0\ge \dfrac{x}{e^x}\ge \dfrac{x}{\frac{x^2}{2}}\quad$つまり$\quad 0\ge \dfrac{x}{e^x}\ge \dfrac{2}{x}\quad$となり、

$\quad\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}=0\quad$なので$\quad\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}=0\quad\cdots\,$(5)

となる。

この結果 (2)式を$\,0\,$から$\,\infty\,$まで積分すると

$\quad\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-ax}dx=\left[-axe^{-ax}\right]_0^{\infty}+\dfrac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-ax}dx$

$\qquad =0-0+\dfrac{1}{a}\left[-\dfrac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^{\infty}=\dfrac{1}{a^2}\quad\cdots\,$(6)

グラフは$\,y=xe^{-x}\,$である。$x\,\to\,\infty\,$まで積分すると斜線部分の面積は$\,1\,$となります。

ビリアル定理

1-1. クラウジウスのビリアル定理

ビリアル定理は１９世紀に Clausius によって考案された。
「系の平均活力は、その（平均）ビリアル（の大きさ）に等しい。」
ここで登場する「活力」（”vis viva”）は、今日の運動エネルギーに相当します。そもそも「活力」は古典力学の草創期にライプニッツが導入した量で、今日の運動エネルギーの２倍に相当する量 $\,mv^2\,$ですが、クラウジウスは $\,mv^2/2\,$とちょうど運動エネルギーと同じ量として用いています。ビリアル virial はラテン語のvis（「力」）からクラウジウスが作った造語です。ここでは、（力）×（位置ベクトル）をビリアルと呼ぶことにします。

距離の逆２乗則に従う重力やクーロン力の中心力で相互作用しあっている多体系では、長時間平均した運動エネルギー$\,\langle\,T\,\rangle\,$と平均の全ポテンシャルエネルギー$\,\langle\,V\,\rangle\,$は次の関係式を満たす。

$\quad 2\langle\,T\,\rangle+\langle\,V\,\rangle=0\quad\cdots\,$(1)

1-2. ビリアル定理の古典力学的証明

ここで位置ベクトル$\,\vec{r}\,$と運動量$\,\vec{p}\,$の内積の総和を以下のように考える。

$\quad G=\displaystyle\sum_i\vec{p}_i\,\cdot\,\vec{r}_i\quad\cdot\,$(2)

(2)式を時間$\,t\,$で微分する。

$\quad\dfrac{dG}{dt}=\displaystyle\sum_i\vec{p}_i\cdot\dfrac{d\vec{r}_i}{dt}+\displaystyle\sum_i\dfrac{d\vec{p}_i}{dt}\cdot\vec{r}_i$
$\qquad\quad=\displaystyle\sum_i\,m_i(\vec{v}_i)^2+\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i$
$\qquad\quad=\displaystyle\sum_i2\times\dfrac{1}{2}m_i(\vec{v}_i)^2+\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i$
$\qquad\quad=2T+\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i\quad\cdots\,$(3)

ここでは、次の関係式を使用している。

$\quad \vec{p}_i=m_i\vec{v}_i\,,\qquad\vec{v}_i=\dfrac{d\vec{r}_i}{dt}\,,\qquad\vec{F}_i=\dfrac{d\vec{p}_i}{dt}\quad\cdots\,$(4)

(3)式の両辺を$\,0\,$から時間$\,t\,$の範囲で積分して$\,t\,$で割り、$t\to\infty\,$の極限をとって長時間平均する。すると粒子が動き得る範囲は有限なので$\,G\,$も有限だから、左辺は$\,0\,$に収束する。

$\quad\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{1}{t}\displaystyle\int_0^t\dfrac{dG}{dt}=\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{G(t)-G(0)}{t}=0\quad\cdots\,$(5)

したがって、

$\quad 0=2\langle\,T\,\rangle+\left\langle\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i\right\rangle\quad\cdots\,$(6)

つまり、ビリアル定理を得る。

$\quad\langle\,T\,\rangle=-\dfrac{1}{2}\left\langle\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i\right\rangle\quad\cdots\,$(7)

次にポテンシャルエネルギー$\,V\,$が中心力ポテンシャルで、粒子間の距離に反比例する形で、系のポテンシャル$\,V\,$が各粒子対の相互作用の和によって書き表される場合、以下のように表される。

$\quad V(r_1,\cdots,r_N)=\displaystyle\sum_{i\lt j}\dfrac{a_{ij}}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}\quad\cdots\,\,$(8)

粒子$\,i\,$に作用する力の合計$\,\vec{F}_i\,$は、ポテンシャルを位置座標で微分することで以下のように表すことが出来る。

$\quad\vec{F}_i=-\nabla_{r_i}V=\displaystyle\sum_{j\ne i}\dfrac{a_{ij}(\vec{r}_i-\vec{r}_j)}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|^3}=\displaystyle\sum_{j\ne i}\vec{F}_{ij}\quad\cdots\,$(9)

ここで、$\,\vec{F}_{ij}\,$は、粒子$\,j\,$から粒子$\,i\,$に働く力である。

$\quad\vec{F}_{ij}=a_{ij}\dfrac{\vec{r}_i-\vec{r}_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|^3}\quad\cdots\,$(10)

この$\,\vec{F}_{ij}\,$を用いると、ビリアル（力と位置ベクトルの内積）は次のように表せる。

$\quad\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i=\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_i+\displaystyle\sum_{i,j(j\lt i)}\vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_i$
$\qquad\qquad\quad=\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_i+\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\vec{F}_{ji}\cdot\vec{r}_j\qquad\because\,i\leftrightarrow j$
$\qquad\qquad\quad=\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\vec{F}_{ij}\cdot(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\quad\because\,\vec{F}_{ji}\!=\!-\vec{F}_{ij}\,\,\cdots\,$(11)

(10)式を(11)式に代入すると

$\quad\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i=\!\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\dfrac{a_{ij}}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$
$\qquad\qquad\qquad=\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}\!V_{ij}=\!\displaystyle\!\sum_{i,j(i\lt j)}\!V_{ji}\quad\cdots\,$(12)

よって(6)式は以下のように表すことが出来る。

$\quad 0=2\langle\,T\,\rangle+\left\langle\displaystyle\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{r}_i\right\rangle=2\langle\,T\,\rangle+\left\langle\displaystyle\sum_{i,j(i\lt j)}V_{ij}\right\rangle$
$\qquad\qquad=2\langle\,T\,\rangle+\langle\,V\,\rangle\quad\cdots\,$(13)

ドメイン変更

tamami.tech というドメインを取得したけど、更新料が 3,400 円と高額なので、tamami8.net という更新料 1,480 円のドメインに変更しました。
まあ変更と行っても、”*.tech” のドメインは 2021年の6月まで有効ですが、HTML のソースを順次書き換え中です。

最近、ロリポップではサーバーレンタルとドメイン取得をまとめてやると、更新料無料らしい。まあ、しょうがないと諦めています。

懸垂線

ひもの両端を持って垂らしたときにできる曲線を懸垂曲線( カテナリー catenary )といいますが、この曲線の方程式を導いてみる。

ひもの底を原点$O\,$とし、水平方向に$x\,$軸、鉛直方向に$y\,$軸をとる。ひもの曲線を$\,y=f(x)\,$とおいて関数$\,f(x)\,$を求める。

ひもの$\,x>0\,$の部分に点$\,(x,f(x))\,$をとり、これを$P\,$とします。また、ひもの$O\,$から$P\,$の部分(両端を含む)を$C\,$とします。

【$\,f(x)\,$に対する微分方程式を立てる】

ひもの一部$\,C\,$に加わる力の釣り合いの式から$\,f(x)\,$についての微分方程式を立てる。$C\,$には次の３つの力が加わっている。

点$\,O\,$に水平方向のひもの張力$\,T_0$
点$\,P\,$に接線方向上向きにひもの張力$\,T$
$\,C\,$の重心に鉛直下向きに重力$\,G$

ここで、原点にはたらく張力$\,T_0\,$は$\,x\,$に関係なく一定なので定数とする。

$T\,$について、$P\,$における$\,f(x)\,$の接線と$\,x\,$軸の正の部分とのなす角を$\,\theta\,$とすると、$T\,$の$\,x\,$成分、$y\,$成分はそれぞれ$\,T\cos\theta\,,\,T\sin\theta\,$となる。

この角度$\,\theta\,$と$\,f(x)\,$は、$x\,$における微分が接線なので
$\quad f'(x)=\tan\theta\quad$となる。

$C\,$の長さを$\,l\,$とすると曲線の長さの式から
$\quad l=\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\quad$で求められる。

線密度を$\,\rho\,$、重力加速度を$\,g\,$とすると
$\quad G=\rho lg=\rho g\quad$となる。

これらより釣り合いの式は以下のようになる。

鉛直方向：$\,T\sin\theta=\rho lg$
水平方向：$\,T\cos\theta=T_0$

$T\,$を消去して、定数をまとめて $\,k=\dfrac{\rho g}{T_0}\,\,$とおくと

$\quad f'(x)=k\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\quad$となる。

両辺を$\,x\,$で微分すると

$\quad f^{\prime\prime}(x)=k\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\quad$となる。

境界条件は$\quad f(0)=0\,\,,\quad f'(0)=0\quad$となる。

【微分方程式を解く】

この微分方程式を解く。$\quad z=f'(x)\quad$とおくと

$\quad\dfrac{dz}{dx}=k\sqrt{1+z^2}$
$\quad\dfrac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=k\,dx\quad$となる。

先程の条件で$\quad f'(x)=\tan\theta=z\quad$なので
$\quad dz=\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\quad$となる。よって、

$\quad \dfrac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{d\theta}{\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}\cos^2\theta}$
$\qquad =\dfrac{d\theta}{\cos\theta}\quad$となる。

このままでは積分出来ないので、$\quad\dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta\quad$を利用して

$\quad\dfrac{d\theta}{\cos\theta}=\dfrac{d(\sin\theta)}{\cos^2\theta}=\dfrac{d(\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$

$\quad =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta}\right)\,d(\sin\theta)\quad$となる。

この形なら積分可能なので$\,\,\sin\theta\,\,$で積分する。

$\quad\displaystyle\int\dfrac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta}\right)\,d(\sin\theta)$

$\quad=\dfrac{1}{2}\left\{-\log(1-\sin\theta)+\log(1+\sin\theta)\right\}$

$\quad=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right)$

よって$\quad z=\tan\theta\quad$として

$\quad f'(x)=\displaystyle\int\dfrac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right)=kx+C_1\quad$ となる。

境界条件$\quad f'(x)=0\quad x=0\,\,,\,\theta=0\quad$より$\quad C_1=0\,\,$。

$\quad\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}=e^{2kx}\quad$より、まず$\quad\sin\theta\quad$について解く。

$\quad 1+\sin\theta=e^{2kx}(1-\sin\theta)\qquad (e^{2kx}+1)\sin\theta=e^{2kx}-1$

$\quad \sin\theta=\dfrac{e^{2kx}-1}{2^{2kx}+1}\quad$となる。ここから以下の公式を使う。

$\quad 1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta}=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$

$\quad\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\left(\dfrac{e^{2kx}+1}{2^{2kx}-1}\right)^2-1$

$\qquad=\dfrac{(e^{2kx}+1)^2-(e^{2kx}-1)^2}{(e^{2kx}-1)^2}$

$\qquad=\dfrac{4e^{2kx}}{(e^{2kx}-1)^2}\quad$より

$\quad\tan\theta=\dfrac{e^{2kx}-1}{2e^{kx}}=\dfrac{e^{kx}-e^{-kx}}{2}=\sinh kx$

$\quad f'(x)=z=\tan\theta=\sinh kx\quad$なので

$\quad f(x)=\displaystyle\int\dfrac{e^{kx}-e^{-kx}}{2}dx=\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}+C_2$

境界条件が$\quad f(0)=0\quad$なので$\quad C_2=-k\quad$より

$\quad f(x)=\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}-k=\dfrac{\cosh kx-1}{k}$

CO回転スペクトル

1. ミクロの世界の量子状態

1-1. 箱の中の粒子

一次元の粒子の波動方程式を考える。$\,x\,$軸上に、$\,x=0\,$から$\,x=L\,$までの長さが$\,L\,$の区間($\,0\ge\,x\ge\,L\,$)を考え、この区間の内部でだけ粒子が運動できるモノとする。このような状況の粒子を、1次元の箱の中の粒子と呼ぶ。
箱の外に出られないように、箱の外の位置エネルギーを$\,\infty\,$とする。また、箱の中では粒子に力が働かず自由に運動できるように、位置エネルギーを$\,0\,$とする。
解くべき方程式は、定常状態の波動方程式 $\,\hat{H}\phi(x)=E\phi(x)\,$ であり、粒子の質量を$\,m\,$とするとハミルトニアン$\,\hat{H}\,$は以下のようになる。

$\quad \hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+U(x)\quad\cdots\,$(1.1)

変数は$\,x\,$のみの1次式なので、ラプラシアン$\,\Delta\,$は$\,x\,$の2次微分 $\,d^2/dx^2\,$に等しい。箱の外では位置エネルギーが無限大だから、$\,\hat{H}\phi=E\phi\,$が成り立つためには、$\phi=0\,$にならなければならない。
すなわち、箱の外の確率密度は$\,0\,$になり、粒子は箱の外には存在しない。次に箱の中では、位置エネルギーを$\,U(x)=0\,$としたので、波動方程式は次のような2次微分を含む方程式になる。

$\quad -\dfrac{\hbar^2}{2m}\ \dfrac{d^2\phi}{dx^2}=E\phi\quad\cdots\,$(1.2)

この式では$\,\phi\,$と$\,x\,$以外はすべて定数であり、次の形の基本的な微分方程式となっている

$\quad \dfrac{d^2\phi}{dx^2}=-k^2\phi\quad\cdots\,$(1.3)

ここで右辺の$\,k\,$は、求めるべきエネルギー$\,E\,$を含み、次式で与えられる定数である

$\quad k=\left(\dfrac{2mE}{\hbar^2}\right)^{1/2}\quad\cdots\,$(1.4)

式 (1.3)の一般解は指数関数または三角関数を含む次式の形に表される

$\quad \phi(x)=ae^{ikx}+be^{-ikx}=A\sin kx+B\cos kx\quad\cdots\,$(1.5)

波動関数の重要な性質として、連続性の条件があり、境界条件を考慮しなければならない。
箱の外では$\,\phi=0\,$であるから、箱の中($\,0\ge x\ge L\,)$の$\,\phi\,$も箱の両端で値が$\,0\,$にならなくてはいけない。
そこで境界条件として $\,\phi(0)=\phi(L)=0\,$ を使うと、$\,x=0\,$で$\,\cos\,$関数の部分は$\,0\,$にならないので、$\sin\,$の関数部分だけが残る。
また、$\,x=L\,$で$\,\sin kx\,$の値が$\,0\,$になるには $\,kL=n\pi\,$となり、その結果、波動関数とエネルギーがそれぞれ次のように決まる。

$\quad\phi(x)=A\sin(n\pi x/L)\quad\cdots\,$(1.6)

$\quad E=\dfrac{(n\pi\hbar/L)^2}{2m}\quad\cdots\,$(1.7)

ここで整数$\,n\,$は$\,1,2,3\,$などの自然数であり、これは量子数と呼ばれる。

(1.7) 式から、箱の中の粒子に許されるエネルギーは、図のように飛び飛びのエネルギー準位になる。

この結果は有限な空間に閉じ込められた粒子のエネルギーが飛び飛びになって量子化されることを示している。
ここで注目するべきことは、エネルギーが最低の基底状態、すなわち$\,n=1\,$の状態でも、エネルギーが$\,0\,$にならないことである。このエネルギーをゼロ点エネルギーという。

(1.7) 式で与えられる波動関数は図の中央に示したように、エネルギー準位を区別する量子数$\,n\,$が増えるにつれ上下の振動が激しくなる。波動関数の値が$\,0\,$になる位置を節(ふし)という。

節になる位置は、$\phi\,$でも$\,\phi^2\,$も同じであり、図の右に示した$\,\phi^2\,$の図から明らかなように、節の位置に粒子が観測される確率は$\,0\,$である。

1-2. 調和振動子

波動方程式の簡単な例として、左図のようなバネ(バネ定数を$\,k\,$)につるされた質量$\,m\,$の錘(おもり)の振動を考える。位置エネルギーは、$\,U(x)=\frac{1}{2}kx^2\,$ であり、釣り合った位置から$\,x\,$だけ錘がずれると、図の右に示した放物線に沿って上がって行き、常に中心に引き戻される力が働いて振動する。このような振動を調和振動子という。

この場合のハミルトニアンの運動エネルギーは箱の中の粒子の場合と同じになり、位置エネルギーは$\,U(x)=\frac{1}{2}kx^2\,$ であるから、この調和振動子の波動方程式は次のように表される。

$\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+\dfrac{1}{2}kx^2\right)\Psi=E\Psi\quad\cdots\,$(1.8)

この微分方程式は、次のように波動関数を仮定すると解くことができる。

$\quad\Psi(x)=e^{-ax^2}\,\displaystyle\sum_{i=0}b_ix^i\quad\cdots\,$(1.9)

解いた結果、次式に従うエネルギー準位が得られる。

$\quad E_n=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)h\nu\qquad(n=0,1,2,\cdots)\quad\cdots\,$(1.10)

ここで、$\,n=0,1,2,\cdots\,$ は振動の量子数(振動量子数)であり、$h\,$はプランク定数で、$\nu\,$はこの振動の固有振動数である。

調和振動子に許されるエネルギー準位は図の左に示すように等間隔になる。その間隔は、振動のエネルギー量子$\,h\nu\,$であり,固有振動数$\,\nu\,$はバネの力の定数が$\,k\,$で質量が$\,m\,$の古典力学の振動子と全く同じで、次式によって与えられる。

$\quad\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\quad\cdots\,$(1.11)

量子論の振動子には、古典力学と明らかに違った注目すべき特徴がある。エネルギーが最低の状態(基底状態)でも、そのエネルギーは$\,0\,$にならず、$\,\dfrac{1}{2}h\nu\,$というエネルギーをもって振動する。このエネルギーをゼロ点エネルギーといい、その時の振動をゼロ点振動という。

図の左に示したように、調和振動子の波動関数は中心の周りで振動子、遠くに行くと減衰する。値が$\,0\,$になる節の数は量子数$\,n\,$に等しく、エネルギーが高いほど多くなる。

1-3. 2粒子系の運動方程式

2個の粒子を含む場合すなわち2粒子系の波動方程式は、以下のように取り扱うと1個の粒子の問題になり簡単になる。図の左に示したように、質量$\,m_1\,$と$\,m_2\,$の2個の球が距離$r$で結ばれているとして、その運動を考える。
ここで重心を座標原点に固定すると、$\,r_1\,$と$\,r_2\,$の和が$\,r\,$になり、2個の粒子の相対運動は長さが$\,r\,$の棒の先端につけた1つの球の運動の問題に単純化される。そのとき先端の粒子の質量$\,\mu\,$は、2個の粒子の質量の逆数の和の逆数になる。

$\quad$換算質量$\quad\mu=\dfrac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}$

こうして2個の粒子の相対運動は、換算質量をもつ1つの粒子の運動として取り扱うことが出来る。したがって、その波動方程式は次のように、1つの粒子の方程式と同じになる。

$\quad\left(-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\Delta+U\right)\Psi=E\Psi\quad\cdots\,$(1.13)

このような問題では、原点からの距離$\,r\,$が特別に重要なので、直交座標系$\,(x,y,z)\,$の代わりに、図の右に示す3次元の極座標$\,(r,\theta,\varphi\,)\,$を変数にとる。すると体積要素$\,dxdydz\,$とラプラシアン$\,\Delta\,$は、以下のように表される。

$\quad$体積要素$\quad dxdydz=r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi\quad\cdots\,$(1.14)

$\quad$ラプラシアン$\quad \Delta=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2}\Lambda\quad\cdots\,$(1.15)

$\quad$ルジャンドリアン$\quad \Lambda=\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)+\dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\quad$(1.16)

ここで、(1.15)式のラプラシアンに含まれる$\,\Lambda\,$は角度に依存する演算子であり、ルジャンドリアンと呼ばれる。

1-4. 剛体回転子

2量子系の波動方程式は、換算質量$\,\mu\,$を使うと原点から距離$\,r\,$のところに繋がれた1個の粒子の回転運動になる。距離$\,r\,$が一定なので$\,r\,$に関する微分は消えてしまい、また位置エネルギーも$\,0\,$とおいてよいので、その波動方程式は次のように単純な式になる。

$\quad-\dfrac{\hbar^2}{2I}\Delta\Psi=E\Psi\quad\cdots\,$(1.17)

ここで、次式で表される$\,I\,$は、重心を軸とする回転運動の慣性モーメントである。

$\quad I=\mu r^2\quad\cdots\,$(1.18)

(1.17)式の波動方程式は三角関数を組み合わせた式を仮定して解くことが出来、その結果、剛体回転子に許されるエネルギーは次式のように、整数値をとる回転量子数$\,J\,$によって飛び飛びの準位になる。

$\quad E=\dfrac{J(J+1)\hbar^2}{2I}\qquad (J=0,1,2,\cdots)\quad\cdots\,$(1.19)

剛体回転子の波動方程式は、数学でよく知られている球面調和関数$\,Y_{J,m}(\theta,\varphi)\,$というものになり、それは$\,J\,$のほかにもう一つの量子数$\,m\,$にも依存している。$\,J\,$が決まれば、それに従って$\,m\,$のとりうる範囲が決まる。$\,m\,$は$\,J\,$から$\,J-1,J-2,\cdots,0,\cdots,-J\,$まで、合計$\,2J+1\,$通りの値が可能である。

$\quad Y_{00}(\theta,\varphi)=\left(\dfrac{1}{4\pi}\right)^{1/2}\quad\cdots\,$(1.20)
$\quad Y_{10}(\theta,\varphi)=\left(\dfrac{3}{4\pi}\right)^{1/2}\cos\theta\quad\cdots\,$(1.21)
$\quad Y_{1\pm1}(\theta,\varphi)=\mp\left(\dfrac{3}{8\pi}\right)^{1/2}\sin\theta\ e^{\pm i\varphi}\quad\cdots\,$(1.22)
$\quad Y_{20}(\theta,\varphi)=\left(\dfrac{5}{16\pi}\right)^{1/2}(3\cos^2\theta-1)(\quad\cdots\,$(1.23)
$\quad Y_{2\pm1}(\theta,\varphi)=\mp\left(\dfrac{15}{8\pi}\right)^{1/2}\sin\theta\ \cos\theta\ e^{\pm i\varphi}\quad\cdots\,$(1.24)
$\quad Y_{2\pm2}(\theta,\varphi)=\mp\left(\dfrac{15}{32\pi}\right)^{1/2}\sin^2\theta\ e^{\pm i2\varphi}\quad$(1.25)

2.分子の回転

2-1. 回転運動のエネルギー

質量$\,m\,$、速度$\,v\,$の直線運動の大きさが運動量$\,p=mv\,$で、運動に伴うエネルギーは

$\quad E=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{p^2}{m}\quad\cdots\,$(2.1)

である。一方、回転運動の大きさを表す量が角運動量であり、回転の軸から距離$\,r\,$にあって、運動量$\,p\,$で運動している物体の角運動量$\,p_{\theta}\,$は、

$\quad p_{\theta}=r\times p\quad\cdots\,$(2.2)

と表される。$\,p_{\theta}\,$は運動量を含むベクトルである。この角運動量を用いて、回転運動のエネルギーは

$\quad E=\dfrac{1}{2}\dfrac{p_{\theta}^2}{I}\quad\cdots\,$(2.3)

のように表される。式(2.1)と(2.3)を比較すると対応していることが分かる。

直線運動を行う物体で運動の持続性(慣性)に影響する量である質量に対応するのが、回転運動における$\,I\,$であり、慣性モーメントと呼ばれる。慣性モーメントは

$\quad I=\sum_im_ir_i^2=\sum_im_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\quad$(2.4)

であるが、2原子分子では換算質量$\,\mu\,$と原子間の距離$\,r\,$を使うと、以下の簡単な式で表すことが出来る

$\quad \mu=\dfrac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}\quad\cdots\,$(2.5)

$\quad I=\mu r^2\quad\cdots\,$(2.6)

式(2.3)には運動量$\,p_{\theta}\,$が含まれており、この式を量子の世界にもちこむには、その$\,p_{\theta}\,$を演算子に置き換えればよい。その結果

$\quad p_{\theta}=\sqrt{J(J+1)}\hbar\quad\cdots\,$(2.7)

と置き換えることが出来る。従って、式(2.3)の2原子分子の場合の量子論的な表現は式(1.19)のように

$\quad E=\dfrac{J(J+1)\hbar^2}{2I}=BJ(J+1)\qquad (J=0,1,2,\cdots)\quad\cdots\,$(2.8)

となる。ここで$\,J\,$は回転量子数であり、$\,0\,$を含む整数のみが許される。すなわち回転エネルギーは量子化されており、飛び飛びの準位のみが許されることになる。$\,B\,$は回転定数と呼ばれるもので次式で表される。

$\quad B=\dfrac{h}{8\pi^2I}\quad$周波数単位}$\qquad \dfrac{h}{8\pi^2c_0I}\quad$波数単位$\quad\cdots\,$(2.9)

2-2. 観測される回転スペクトル

回転運動だけに起因するスペクトルはマイクロ波領域から遠赤外線領域に現れる。図は期待状態のCO分子の吸収スペクトルである。規則的な間隔の吸収線からなる。式(2.8)より2原子分子の場合の回転エネルギー準位は下図のようになることが理論的に予測できる。

回転量子数の$\,J=0,1,2,3,\cdots\,$に対して、エネルギー準位は$\, 0,2B,6B,12B,\cdots\,$となる。従って隣接するエネルギー準位間の大きさは $\,2B,4B,6B,\cdots\,$である。これを横軸にエネルギーをとってプロットすると図の下に示したようにスペクトルの位置が$\,2B\,$の間隔で並ぶ。これは実測のスペクトルとぴったり一致する。

このようにして、光子を1つ吸収することによる(2原子分子の)回転遷移は、$\,J\,$の値が1つだけ変化する状態の間に起こることがわかる。吸収はエネルギーが増える方向への遷移であるが、エネルギーが減る方向の瀬には発光スペクトルとして観測され、実際同様なスペクトルを示すことがわかっている。すなわち回転遷移の選択則は$\,\Delta J=\pm 1\,$である。ここでは、この選択則を実測との対応から導いたが、理論的にも同じ結果が導かれる。

以上のようにして、実測スペクトルの間隔から回転定数$\,B\,$が決定できる。この$\,B\,$は(2.9)式に定義された量であるから、$\,B\,$がわかるということは慣性モーメント$\,I\,$が実験的に求められたことを意味する。これより$\,B\to I\to r\,$のようにして、分子の構造を与える情報$\,r\,$が得られることになる。

2原子分子であるNO分子についても同様な解析が可能であり、実測スペクトルから分子構造に関する情報を導くことができる。それらの結果を以下の表にまとめる。

	$\mu$ (kg)	回転定数$\,B$ (Hz)	$B\,$cm$^{-1}$	結合距離 $r\,\mathring{\mathrm{A}}$
$^{12}$CO	$1.139\!\times\!10^{-26}$	$5.793\times 10^{10}$	$1.932$	$1.128$
$^{13}$CO	$1.191\!\times\!10^{-26}$	$5.538\times 10^{10}$	$1.847$	$1.128$
NO		$5.012\!\times\!10^{10}$	$1.672$	$1.151$

COの場合、$J\!=\!1\!-\!0\,$の回転遷移では、$E=BJ(J+1)\,$ より、$115.9$GHz となり、$^{13}$COでは、$110.8$GHzとなる。$J\!=\!2\!-\!1\,$の場合は $\,6B-2B=4B\,$なので、$^{12}$CO は$231.7$GHzで、$^{13}$COは$\,221.5\,$GHzになる。

2-3. 観測されたスペクトル

爆発的星形成銀河（starburst銀河）M82の中心数100pc領域における、赤外線から電波に至る波長領域のスペクトル。大別して、(1)周波数に対して、連続的に放射強度が変化している「連続波放射」と、(2)ある特定の周波数でのみ、強い放射を示す「スペクトル線放射」とに分けられる。
連続波放射は、主に波長の長い電波域におけるシンクロトロン放射(磁場の中を高速で運動している電子からの放射)と、サブミリ波～赤外線域にかけて、大きな山をつくっている成分、すなわち、星間ダスト(星間空間中に存在する、シリケイトなどの固体微粒子)からの熱放射の重ね合わせとしてよく説明でできる。
この他、ミリ波付近には自由・自由遷移放射(電離領域中を運動する自由電子からの放射)も見られる。一方、この波長帯のスペクトル線放射としては、原子からの再結合線(桃色)・微細構造線(赤)・超微細構造線、分子からの回転線(青)などがみられる。

ドメイン取得とSSL化

Google Chrome を使っていると、http でのアクセスの場合、保護されていないページと表示されるので、SSL化をしようとトライしてみました。
ドメインはデフォルトのままでは、無料SSL導入が出来ない(ロリポップでは)らしいので、しょうがないからドメインを導入しました。”tamami“という名前は、1970年に桜花賞をぶっちぎりで勝った「タマミ」からとっているので、これをそのまま使うことにしました。*.tokyo だと安かったんですけど、何となく “.tech“にしてしまいました。よく値段を確認しなかったんですけど、更新費用が年額 3,980円でサーバーのレンタル料(3,000円)より高い．．．．
結局、GMO としてこういう形でコストを回収しているんだっと言うことを、やっと勉強した。😭

これで、ようやくSSL化が出来ました。内部のアドレス変換で RegEx というツールで変換したのが、失敗で $\TeX\,$の制御コードのバックラッシュ “\”が消えてしまいました。何か設定があるんだと思うけど、やってしまったことはしょうがないので、手動で復旧した。これで、 Google Chrome から文句は言われないかな。

ネットの入試問題など-2

【問４】

$\quad x^5=i\quad$を解け。

【解法】
$\quad i^5=i\quad$なので、与式は$\,\,x^5-i^5=0\quad$と変形できる。

$\quad x^5-i^5=(x-i)(x^4+x^3i+x^2i^2+xi^3+i^4)$
$\qquad =(x-i)(x^4+x^3i-x^2-xi+1)\quad$ここで、$x\ne0\quad$なら

$\qquad =(x-i)\left(x^2+xi-1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0$

ここで、$\,x-\dfrac{1}{x}=t\,\,$とすると、
$\quad t^2+2+it-1=t^2+it+1=0\quad$より

$\quad\left(t+\dfrac{1}{2}i\right)^2+\dfrac{5}{4}=0\quad$なので

$\quad t+\dfrac{1}{2}i=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}i\quad$よって$\quad t=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}i}{2}$

ここで$\,\,x=\cos\theta+i\sin\theta\quad$とおくと

$\quad t=\cos\theta+i\sin\theta-(\cos\theta+i\sin\theta)^{-1}$

$\qquad =\cos\theta+i\sin\theta-\cos\theta+i\sin\theta=(2\sin\theta)i$

$\quad \sin\theta=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\quad$となる

$\quad \cos^2\theta=1-\sin^2\theta=\dfrac{10\pm2\sqrt{5}}{16}\quad$より

$\quad \cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{10\pm2\sqrt{5}}}{4}\quad$なので、解は $\,i\,$を頂点とする５角形の点。

$\quad x=i\,\,\,,\,\,\pm\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}i\,\,,$

$\qquad\qquad\quad \pm\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}i$

また、$\,i=\cos 5\theta+i\sin 5\theta=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\quad$なので

$\quad \theta=\dfrac{\pi}{10}\quad$となり、$\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\quad$である。

【問５】

$\quad \displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2x\,dx>8\quad$を示せ

【解答】
$\quad I=\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2x\,dx\quad$とする。

$\quad\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\quad$なので、$\,I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}e^x(1-\cos2x)dx$

$\quad I=\dfrac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\,dx-\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\cos2x\,dx\right\}$

ここで、$\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\cos2x\,dx=I_2\quad$とおく。さきに微分を計算する。

$\quad e^x\sin2x=a\,\,,\quad e^x\cos2x=b\quad$とおく

$\quad(e^x\cos2x)^{\prime}=e^x\cos2x-2e^x\sin2x=b-2a\quad\cdots\,$(1)

$\quad(e^x\sin2x)^{\prime}=e^x\sin2x+2e^x\cos2x=a+2b\quad\cdots\,$(2)

$\quad b=\dfrac{(1)\!+\!(2)\!\times\!2}{5}=\dfrac{1}{5}(e^x\cos2x+2e^x\sin2x)^{\prime}=e^x\cos2x$

$\quad\therefore\,\,I_2=\dfrac{1}{5}\bigl[e^x\cos2x+2e^x\sin2x\bigr]_0^{\pi}=\dfrac{1}{5}(e^{\pi}-1)$

$\quad I=\dfrac{1}{2}\left(e^{\pi}-1-\dfrac{1}{5}(e^{\pi}-1)\right)=\dfrac{2}{5}(e^{\pi}-1)\quad$となるので

$\quad e^{\pi}>21\quad$を示せばいいことになる。

ここで$\,\,y=e^x\quad$のグラフで$\quad x=3\quad$での接線を考える。

接線の式は$\quad y=e^3(x-3)+e^3=e^3x-2e^3\quad$となる。

$\quad e^{\pi}\quad$は、接線の$\,\,x=\pi\quad$の点より上にあるので

$\quad e^{\pi}>e^3\pi-2e^3=e^3(\pi-2)>2.7^3\times1.1\fallingdotseq21.65$

よって、標題は証明された。

【問６】

$\,x>0\,$のとき$\quad\dfrac{x^4+x^2+1}{x^3+x}\quad$の最小値を求めよ

【解答】
与式の分母、分子を$\quad x^2\quad$で割ると

$\quad =\dfrac{x^2+1+\frac{1}{x^2}}{x+\frac{1}{x}}\quad\cdots\,$(3)　となる。

ここで$\quad x+\dfrac{1}{x}=t\quad\cdots\,$(4)　とおくと、式(3)は

$\quad \dfrac{t^2-1}{t}=t-\dfrac{1}{t}\quad\cdots\,$(5)　となる。

ここで$\quad x>0\quad\dfrac{1}{x}>0\quad$なので、

$\quad t=x+\dfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\dfrac{1}{x}}=0\quad$なので、$\,t\ge 2$

ここで、式(5)を$\quad f_1(t)=t\quad f_2(t)=-\dfrac{1}{t}\quad$と分けると

$\quad t\ge 2\quad$で、$f_1(t)\,\,,\,f_2(t)\quad$はともに単調増加

なので、最小値は$\quad t=2\,\to\,x=1\quad$最小値は$\quad\dfrac{3}{2}$

ネットの入試等の問題-1

最近、Youtube で流れている問題を見ていると、すっかり忘れている事や知らないことが多い。そこで、いくつかの問題とその解法を備考録に書いていきます。

【問１】

$\quad\sqrt{3}\sin 2x+2\sin^2x-1\,$ の$\,0\!\le\!x\!\le\!\pi\,$での最大値と最小値を求めよ。

【解法】
三角関数って、やっていないと直ぐ忘れる。この場合は倍角の公式を使う。
$\quad \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\qquad\cdots\,$(1)
これを使うと与式は
$\quad\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cos 2x\right)\,\cdots\,$(2)

ここで$\,\sin\,$の加法定理が
$\quad\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\cdots\,$(3)

であり、$\cos(-\pi/6)=\sqrt{3}/2\,,\quad\sin(-\pi/6)=-1/2\,$なので、(2)式は

$\quad 2\left(\sin 2x\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos 2x\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\qquad\cdots\,$(4)

(4)と加法定理の(3)を見比べれば
与式は以下のように変形できる。

$\quad 2\left(\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\qquad\cdots\,$(5)

最大値は$\,2x-\pi/6=\pi/2\,$のときなので $\,\,x=\pi/3\,$のとき$\,\,2$
最小値は$\,2x-\pi/6=3\pi/2\,$のときなので $\,\,x=5\pi/6\,$のとき$\,\,-2$

【問２】

$\quad x^5+x+1\quad$を因数分解せよ。

【解法】
ネットでは、まず１の３乗根を使うとあります。これは以下の方程式の

$\quad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\qquad\cdots\,$(6)

根は、$x=1,\,(-1\pm\sqrt{3}\,i)/2\,$である。

$\omega=(-1+\sqrt{3}\,i)/2\,$とすると

$\quad\omega^2=(-1-\sqrt{3}\,i)/2\,,\quad\omega^3=1\,$である。

$\quad\omega^2+\omega+1=0\,$である。与式に$\,\omega\,$を代入すると

$\quad\omega^5+\omega+1=\omega^2+\omega+1=0\,$なので割り切れる。

そこで、与式を$\,x^2+x+1\,$で割ってみる。

このように、割り切れる。商が$\,x^3-x^2+1\,$となるので、答えは

$\quad x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\quad$となります。

別解(?)として、以下のように展開する方式があります。

$\quad x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1$
$\qquad =x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1$
$\qquad =(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

【問３】

$\quad a^2+b^2=1224\quad$にあてはまる自然数の組を答えよ。

【解法】
この手の整数の問題は合同式を使うのがセオリーらしい。

$\,{\large \bigstar\,}$合同式
一般に、ある２つの整数$\,a,\,b\,$を自然数$\,m\,$で割った余りが等しいとき、$a,\,b\,$は$\,m\,$を法として合同であるといい
$\quad a\equiv b\,(\mathrm{mod}\, m)\qquad$と表す。

この式のことを合同式といい、$a-b\,$が$\,m\,$で割りれることを表す。
合同式では加法・減法・乗法が成り立つ。

$a\equiv b\,(\mathrm{mod}\,m),\,\,c\equiv d\,(\mathrm{mod}\,m)\,$のとき
$\quad a+c\equiv b+d\,(\mathrm{mod}\,m)$
$\quad a-c\equiv b-d\,(\mathrm{mod}\,m)$
$\quad ac\equiv bd\,(\mathrm{mod}\,m)$

除法については$\, ac\equiv bc\,(\mathrm{mod}\,m)\,$で
$\quad\cdot\,c\,$と$\,m\,$が互いに素のとき、
$\qquad a\equiv b\,(\mathrm{mod}\,m)$

$\quad\cdot\,c\,$と$\,m\,$が互いに素でないとき、$c\,$と$\,m\,$の最大公約数を$\,d(>1)\,$とすると
$\qquad a\equiv b\,(\mathrm{mod}\,\dfrac{m}{d})\quad$が成立する。

$\,{\large \bigstar\,}$平方剰余と平方数の性質

$\quad a^2\equiv b\,(\mathrm{mod}\,m)\,$となる整数$\,a\,$が存在するとき、$b\,$は$\,m\,$を法とする平方剰余であるという。

・平方数に関する重要な性質
$1\,$：平方数を$\,3\,$で割った余りは必ず$\,0\,$か$\,1\,$。余りが$\,2\,$になることはない。
$2\,$：平方数を$\,4\,$で割った余りは必ず$\,0\,$か$\,1\,$。余りが$\,2\,$か$\,3\,$になることはない。

これらをふまえて、解法は以下のようになる

$\,1224=2^3\,3^2\,17\,$なので
・$\,a^2+b^2=1224=4\times 306\,$より

$\quad a\equiv0\,(\mathrm{mod}\,2)\,$かつ$\,b\equiv0\,(\mathrm{mod}\,2)$

・$\,a^2+b^2=1224=9\times 136\,$より

$\quad a\equiv0\,(\mathrm{mod}\,3)\,$かつ$\,b\equiv0\,(\mathrm{mod}\,3)\quad$なので
$\therefore\quad a\equiv0\,(\mathrm{mod}\,6)\,$かつ$\,b\equiv0\,(\mathrm{mod}\,6)\quad$となるので
$\quad a=6x,\,b=6y\,$とおくと$\,\,x^2+y^2=34\,\,$になり、

$\quad (x,y)=(5,3)\,,\,(3,5)\,$となるので$\,(a,b)=(30,18)\,or\,(18,30)\,$

質量とエネルギーの関係

特殊相対論の質量とエネルギーの関係式を確認してみる

1．前準備

1-1. テイラー展開

閉区間 [$\,a\,,\,b\,$]で$\,n\,$回微分可能な関数$\,f(x)\,$において、$n\to\infty\,$にて

$f(b)=f(a)\!+\!\dfrac{f'(a)}{1!}(b\!-\!a)\!+\!\dfrac{f”(a)}{2!}(b\!-\!a)^2\cdot\!+\!\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b\!-\!a)^n\,$(1)

とできる。この (1)式を$\,b=x\,$とするのが別形である。
そして$\,a=0\,$とするのが　マクローリン展開( Maclaurin expansion )　である。

$\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\quad\cdots\,$(2)

ここでは、ローレンツ変換で用いる関数$\,\,f(x)=(1-x^2)^{-1/2}\,\,$をマクローリン展開する。

1-2. $\,\,f(x)\,$の微分

$\quad f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\quad\cdots\,$(3)

を微分する。まず１回微分すると

$\quad f'(x)=(-\dfrac{1}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}=x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}\quad\cdots\,$(4)

２回微分では

$\quad f^{\prime\prime}(x)=(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}+(-\dfrac{3}{2})(-2x)x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}$
$\qquad=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+3x^2(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\quad\cdots\,$(5)

さらに微分すると

$\quad f^{\prime\prime\prime}(x)=(-\dfrac{3}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}$
$\qquad +3x^2(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}$
$\qquad =3x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}$
$\qquad =9x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\quad\cdots\,$(6)

$\quad f^{(4)}(x)=9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+9x(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}$
$\qquad+45x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+15x^3(-\dfrac{7}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}$
$\qquad =9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+90x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+105x^4(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\quad$(7)

$\quad f^{(5)}(x)=225x(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+1050x^3(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}$
$\qquad +945x^5(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}\quad\cdots\,$(8)

$\quad f^{(6)}(x)=225(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+4725x^2(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}$
$\qquad +7875x^4(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}+10395x^6(1-x^2)^{-\frac{13}{2}}\quad\cdots\,$(9)

1-3. $\,\,f(x)\,$のマクローリン展開

$\quad f^{(n)}(x)\,$に$\,x=0\,$を代入すると、

$\quad f(0)=1\,,\quad f'(0)=0\,,\quad f^{\prime\prime}(0)=1\,,\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=0$
$\quad f^{(4)}(0)=9\,,\quad f^{(5)}(0)=0\,,\quad f^{(6)}(0)=225$

なので、それぞれの値を(2)式に代入すると

$\quad f(x)=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}=1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{8}x^4+\dfrac{5}{16}x^6+\cdots\,\,$(10)

のように展開することが出来る

2．４次元時空での運動

2-1. 固有時間

慣性系$\,S(t,x,y,z)\,$と慣性系$\,S'(t’,x’,y’,z’)\,$において、
$\quad dt=t’-t\,,\quad dx=x’-x\,,\quad dy=y’-y\,,\quad dz=z’-z$

とすると、事象の隔たりを　世界距離( world distance :$\,ds\,$ )といい、次の式で表される。

$\quad ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad\cdots\,$(11)

ここで空間座標をまとめて$\,\mathbf{x}\,$で表すと

$\quad ds^2=c^2dt^2-d\mathbf{x}^2\quad\cdots\,$(12)

慣性系$\,S’\,$が$\,S\,$に対して、速度$\,v\,$で等速運動しているとすると、

ローレンツ変換 (Lorentz transformation )は

$\quad\left(\begin{array}{c}\bf{x’}\\ct’\end{array}\right)=\gamma\left(\begin{array}{cc}1&\beta\\ \beta&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\bf{x}\\ct\end{array}\right)\quad\cdots\,$(13)

ここで、$\beta=\dfrac{v}{c}\,$であり$\quad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\,$である。

この$\,ds^2\,$はローレンツ変換で不変である。

$\quad ds^2=-c^2dt^2+d\mathbf{x}^2=-c^2dt’^2+d\mathbf{x}’^2\quad\cdots\,$(14)

世界線の長さは$\,\int\sqrt{-ds^2}\,$として定義出来る。パラメータとして慣性系$\,S\,$の時間座標$\,t\,$そのものを選ぶことが出来る。

$\quad\displaystyle\int\sqrt{-ds^2}=c\displaystyle\int dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=c\displaystyle\int d\tau\quad\cdots\,$(15)

ここで時間定数$\,\tau\,$を定義する。固有時 (proper time )。

$\quad d\tau=dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=dt’\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}’}{dt’}\right|^2}\quad\cdots\,$(16)

式(15)は世界線に沿っての固有時間の長さを距離の単位で与える。これは、質点の軌道の形そのものによって定まる量なので、ローレンツ変換で不変である。

2-2. ４元速度

時間$\,t\,$を加えた４次元で固有時間に対する速度を考える。

$\quad u_t=\dfrac{dct}{d\tau}\,,\,u_x=\dfrac{dx}{d\tau}\,,\,u_y=\dfrac{dy}{d\tau}\,,\,u_z=\dfrac{dz}{d\tau}\quad\cdots\,$(17)

ここで、速度の大きさを考える場合、世界距離の計算と同様に時間成分の２乗はマイナスとなる。大きさを計算(内積をとる)する。

$\quad-u_t^2+u_x^2+u_y^2+u_z^2=\dfrac{1}{d\tau^2}(-dct^2+dx^2+dy^2+dz^2)$
$\qquad =\dfrac{1}{d\tau^2}(-c^2d\tau^2)=-c^2\quad\cdots\,$(18)

となり、４元速度の大きさは一定値になってしまう。
ここで、四元速度の表記を以下のようにする。

$\quad u^{\mu}\equiv\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}\quad\cdots\,$(19)

なお、$u^0=u_t\,,\,u^1=u_x\,,\,u^2=u_y\,,\,u^3=u_z\,$である。

式(16)、(17)より

$\quad u^{\mu}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\dfrac{dx^{\mu}}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}v^{\mu}\quad\cdots\,$(20)

また、

$\quad u^0=c\dfrac{dt}{d\tau}=\gamma\dfrac{cdt}{dt}=c\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,$(21)

2-3. ４元運動量
４元速度を用いて４元運動量を$\,m\,$を静止質量として以下のように定義する。

$\quad p^{\mu}=m\,u^{\mu}=m\gamma v^{\mu}\quad\cdots\,$(22)

これにより、$p^0\,$は

$\quad p^0=mu^0=mc\gamma=\dfrac{mc}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,$(23)

ここで、前準備の式(10)より

$\quad\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1+\dfrac{1}{2}\beta^2+\dfrac{3}{8}\beta^4+\dfrac{5}{16}\beta^6+\cdots\quad\cdots\,$(24)

$\,\beta=v/c\,$なので、式(23)と(24)より

$\quad p^0=mc+\dfrac{mc}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3mc}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+\cdots\quad\cdots\,$(25)

ここで、$v/c\to 0\,$の低速において、式(25)の両辺に光速$\,c\,$をかけると

$\quad p^0c=mc^2+\dfrac{1}{2}mv^2+\cdots\qquad\cdots\,$(26)

$\,p^0c\,$は質点のエネルギーを表しており、運動エネルギーと
静止エネルギー$\,mc^2\,$の和として表される。

ステファン・ボルツマンの法則-２

1.プランクの法則 (Planck’s law)
物理学における黒体から輻射(放射)される電磁波の分光放射輝度、もしくはエネルギー密度の波長分布に関する公式。プランクの公式とも呼ばれる。ある温度$\,T\,$における黒体からの電磁輻射の分光放射輝度を全波長領域において正しく説明することができる。1900年、ドイツの物理学者マックス・プランクによって導かれた。

プランクはこの法則の導出を考える中で、輻射場の振動子のエネルギーが、あるエネルギー素量(現在ではエネルギー量子と呼ばれている)$\,\epsilon=h\nu\,$の整数倍になっていると仮定した。このエネルギーの量子仮説（量子化）はその後の量子力学の幕開けに大きな影響を与えている。
プランクの放射式では、単位振動数$\,\nu\,$あたりの黒体輻射強度を以下のように表す。

$\quad B_{\nu}(T)=\dfrac{2h}{c^2}\dfrac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}\quad\cdots\,$(1)

なお、ここで$\,c\,$は光速、$\,h\,$はプランク定数、$\,k\,$ はボルツマン定数である。このプランクの放射式に温度$\,T\,$に3000K$\sim$7000Kを代入してプロットしたのが下図である。

2.全黒体輻射強度 (Total blackbody radiation intensity)
このプランクの放射式を全振動数で積分したものを、全黒体輻射強度$\,B(T)\,$ という。(1)式で、$\,x=h\nu/kT\,$とおくと、

$\quad B_x(T)=\dfrac{2k^3T^3}{c^2h^2}\dfrac{x^3}{e^x-1}\quad\cdots\,$(2)

となり、全振動数で積分すると

$\quad \displaystyle\int_0^{\infty}B_{\nu}(T)d\nu=\displaystyle\int_0^{\infty}B_x(T)\,\dfrac{kT}{h}\,dx\quad\cdots\,$(3)

$\quad B(T)=\dfrac{2k^4T^4}{c^2h^3}\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}\,dx\quad\cdots\,$(4)

(4)式の積分は$\,\pi^4/15\,$となるので、
全黒体輻射強度(放射輝度)[単位 Wm$^{-2}$sr$^{-2}$K$^{-4}$] は

$\quad B(T)=\dfrac{2\pi^4k^4T^4}{15c^2h^3}=\dfrac{\sigma}{\pi}T^4\quad\cdots\,$(5)
となる。

3.$\,\,\,\,x^3/e^x-1\,$の$\,\,$積分の計算

$\quad\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{x^3}{e^x}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\quad\cdots\,$(6)

(6)式の最後の項は公比$\,e^{-x}\,$の等比数列の和とすると

$\quad\dfrac{1}{1-e^{-x}}=1+e^{-x}+e^{-2x}+\cdots$
となるので

$\quad\dfrac{x^3}{e^x-1}=x^3(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots)\quad\cdots\,$(7)

ここで$\,x^pe^{-ax}\,$の形の関数を積分するために、ガンマ関数を利用する。
ガンマ関数の定義から

$\quad\varGamma(q)=\displaystyle\int_0^{\infty}y^{q-1}e^{-y}dy=(q-1)\,!\quad\cdots\,$(8)

ここで、$\,p=q-1\,$とすると
$\quad p\,!=\displaystyle\int_0^{\infty}y^pe^{-y}dy\quad\cdots\,$(9)

$\,\,y=ax\,$とすると$\,dy=a\,dx\,$で、(9)式に代入すると

$\quad p\,!=\displaystyle\int_0^{\infty}(ax)^pae^{-ax}dx=a^{p+1}\displaystyle\int_0^{\infty}x^pe^{-ax}dx\quad\cdots\,$(10)

よって

$\quad\displaystyle\int_0^{\infty}x^pe^{-ax}dx=\dfrac{p\,!}{a^{p+1}}\quad\cdots\,$(11)

これを使って(7)式を積分すると

$\quad\displaystyle\int_0^{\infty}\!\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty}\!x^3(e^{-x}+e^{-2x}+\cdots)dx=\dfrac{3!}{1^4}+\dfrac{3!}{2^4}+\cdots\quad$

ここでゼータ関数より

$\quad\zeta(4)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\cdots=\dfrac{\pi^4}{90}\quad\cdots\,$(12)

なので

$\quad\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{3!}{1^4}+\dfrac{3!}{2^4}+\cdots=3\,!\,\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{15}\quad\cdots\,$(13)

4.放射エネルギー
全立体角に対する積分は
$\quad\displaystyle\int\cos\theta\,d\Omega=\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi=\pi\quad\cdots\,$(14)

よって黒体の単位面積当たりの放射エネルギー$\,I\,$は

$\quad I=\pi\displaystyle\int B_{\nu}d\nu=\dfrac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}T^4=\sigma T^4\quad\cdots\,$(15)

ここで、$\,\sigma\,$はステファン・ボルツマン係数である

$\quad\sigma=\dfrac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}=5.67\times 10^{-8}$W/m$^2$K$^4\quad\cdots\,$(16)

ステファン・ボルツマンの法則-１

1. あらゆる物体は光を放っている
電磁波というのは電荷を持った粒子が振動することで発生する。そして電荷を持った粒子は、どこからか飛んできた電磁波を受けると、その影響で振動する。そこらじゅうにある原子は内部に電荷を持っているのだから、何らかの方法で電磁波を放出し、また受け止めていると考えられる。

例えば太陽の光だって電磁波の一種だが、それを受け止めた物体は熱くなる。電磁波の形で遠くから届いたエネルギーが熱に変わるからだ。逆のことも起きている。キャンプファイヤーが終わった後で火を消すと辺りは真っ暗になるが、その真っ暗闇の中で、さっきまで焼かれていた石がぼんやりと赤黒く光っていることがある。そこらにある普通の石が、内部から光を放っているように見えて、少し不気味ではあるが、何だか綺麗だ。

他にも色んな例がある。ストーブの中で焼けた鉄板が赤く光っている。焚き火のときに炭が赤く光っている。ハロゲンヒーターが赤熱している。その光を浴びると、すぐに暖かく感じる。これは間にある空気を伝わって暖められるわけではない。光によって直接暖められるせいだ。このように、熱せられた物体から光や電磁波が出る現象を「熱放射」と呼ぶ。

では物体は何度くらいから光を出し始めるのだろう。実は目に見えないだけで、低い温度の物体でも電磁波を出しているらしい。体温の高い人が近くに来ると直接触らなくても暖かさを感じることがあるだろう。それはその人の体から、可視光線よりも低いエネルギーの光である赤外線が放射されているのだ。

2. ステファン・ボルツマンの法則
では物体は一体どれほどのエネルギーを熱放射の形で放出しているのだろうか？それを調べたのはヨーゼフ・ステファンという 19 世紀の科学者であり、実はあのボルツマンの師である。彼は他の学者たちが過去に行った幾つかの実験結果をまとめた上で、自らも白金の針金に電流を流して赤熱させる実験を行ったりして、熱放射のエネルギー$\,K\,$と物体の温度$\,T\,$との間に次のような関係があるのではないかという提案を行った。 (1879)

$\quad K=\sigma T^4\quad\cdots\,$(1)

この式は「ステファン・ボルツマンの法則」と呼ばれている。なぜボルツマンの名前が入っているかというと、後に、弟子のボルツマンが、当時の最新理論である電磁気学と熱力学を使って、この法則の根拠を説明することに成功したからである。 (1884)

にもかかわらず、この結果はしばらくの間認められることはなかった。多くの科学者がこの実験結果を確認しようとしたが、追試がうまくいかなかったのである。今ではその理由ははっきり分かっているのだが、この法則には少しばかり適用条件があって、当時はそのことがまだ良く分かっていなかったのである。ステファンの実験がうまく行ったのは偶然の幸運であろうと言われている。

3. 理論的導出
電磁波はエネルギーだけでなく運動量をも持つのだということを、電磁気学で学んだ。そこで、こんなことを考えてみよう。容器の壁が温度$\,T\,$の物質で出来ていて、そこから放出された電磁波で容器の中が一様に満たされており、そのエネルギー密度が$\,u\,$になっていたとする。

この仮定は次のような考えを根拠にしている。もし容器の壁から内側へ向けて電磁波が放出される一方だとすると、容器内部の電磁場のエネルギーは無限に増える一方となるだろう。しかしそうならないのは、容器の壁は電磁場を放出すると同時に吸収も行っていて、一定の状態で安定しているせいだと考えられる。容器の中の電磁場と容器の壁とは熱平衡に達しているというわけだ。電磁場に対しても、温度という概念が使えるということでもある。というわけで、$\,u\,$は$\,T\,$の関数だと言えるだろう。
さて、そのときの運動量密度$\,w\,$と$\,u\,$の間には$\,u=cw\,$という関係がある。

4. 電磁波のエネルギー密度
マックスウェルの方程式から次の波動方程式が導かれる
$\quad\nabla^2\mathbf{B}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0\qquad\nabla^2\mathbf{E}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0\quad\cdots\,$(2)

空間に領域Dをとり、その内部で電磁場が荷電粒子系に及ぼす単位体積当たりの力は
$\quad\mathbf{f}=\rho\mathbf{E}+\mathbf{j}\times\mathbf{B}\quad\cdots\,$(3)
であるので荷電粒子系の運動方程式は
$\quad\dfrac{d\mathbf{P}_{\text{粒子}}}{dt}=\displaystyle\int_{\mathrm{D}}\mathbf{f}\,dv\quad\cdots\,$(4)
となる。$\mathbf{P}_{\text{粒子}}\,$は粒子系の全運動量である。

ここで電場についてのガウスの法則と拡張されたアンペールの法則を使って$\,\mathbf{f}\,$を表すと
$\mathbf{f}=\epsilon_0(\nabla\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}-\epsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B}+\dfrac{1}{\mu_0}(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B}\quad\cdots\,$(5)

これよりD内の電磁場の運動量は単位体積当たり以下の値を持つ
$\quad\mathbf{p}_{\text{場}}\equiv\epsilon_0\mathbf{E}\times\mathbf{B}\quad\cdots\,$(6)

ここで電束密度$\,\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}$、磁束密度$\,\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\,$であり、真空中を伝搬する電磁場の電場$\,\mathbf{E}$と磁束密度$\,\mathbf{B}$の大きさの間には$\,|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|$なる関係が成立する。

電場の大きさを$\,E=|\mathbf{E}|$とすると電磁場のエネルギー密度は
$\quad u=\dfrac{1}{2}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})=\dfrac{1}{2}\left(\epsilon_0E^2+\dfrac{E^2}{c^2\mu_0}\right)$
$\qquad =\dfrac{1}{2}(\epsilon_0E^2+\epsilon_0E^2)=\epsilon_0E^2\quad\cdots\,$(7)

一方、運動量密度$\,w\,$は
$\quad w=|\mathbf{D}\times\mathbf{B}|=\epsilon_0E\cdot\dfrac{E}{c}=\dfrac{\epsilon_0E}{c}=\dfrac{u}{c}\quad\cdots\,$(8)

5. 電磁波による圧力

ここで、容器の内部の電磁波を考える。電磁波は容器の壁に当たるたびに壁に運動量を与えるのだから、容器の壁を圧力$\,p\,$で押すことだろう。まずは、その$\,p\,$と$\,u\,$の関係を導く。

説明が簡単に済むように、一辺の長さが$\,L\,$の立方体の容器を考えてみる。そしてどの壁を考えても同じことではあるのだが、極座標の積分計算を分かりやすくする都合で、$\,z\,$軸の正の方向にある壁に与える圧力を考える。

容器内の全ての電磁波が一つの方向を向いているとする。その全運動量$\,P\,$は運動量密度$\,w\,$と体積$\,V=L^3\,$を掛けて、$P=wL^3\,$と表せる。

全ての電磁波の向かう一つの方向というのが、$\,z\,$軸に対して$\,\theta\,$の角度を持った方向だとすると、壁に当たって反射するたびに、合計で$\,2P\cos\theta\,$の運動量を与えることになる。

その頻度であるが、電磁波の速度の$\,z\,$軸方向成分が$\,c\,\cos\theta\,$であり、往復$\,2L\,$の距離を進むたびに再び同じ壁に当たるのだから、1秒間に$\,c\,\cos\theta/2L\,$回の衝突を行うことになる。

力というのは1 秒あたりの運動量変化のことであり、それを面積$\,L^2\,$で割れば圧力$\,p\,$が求まることになる。

$\quad p=2P\cos\theta\times\dfrac{c\,\cos\theta}{2L}\div L^2$
$\qquad =2wL^3\cos\theta\times\dfrac{c\cos\theta}{2L^3}$
$\qquad =wc\,\cos^2\theta=u\,\cos^2\theta\quad\cdots\,$(9)

という形になる。しかしこの結果は、全ての電磁波が一つの方向を向いていると仮定した上での話であり、実際にはあらゆる方向を向いているはずだから、全方向について平等に平均をしてやらないといけないだろう。その為には立体角の考えを使えば良さそうだ。自分が半径1の球の中心にいて、周囲をぐるっと見回していると想像してみよう。どの方向も等しいのだから、この球の表面積にわたって今の結果を積分してやればいい。平均を取るためにはそれを表面積$\,4\pi\,$で割ってやればいい。

$\quad p=\dfrac{u}{4\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta\displaystyle\int_0^{2\pi}d\phi$
$\qquad =\dfrac{u}{4\pi}\left[-\dfrac{1}{3}\cos^3\theta\right]_0^{\pi}\times 2\pi$
$\qquad =\dfrac{u}{3}\quad\cdots$(10)

6. 熱力学的考察
可逆過程での内部エネルギー($\,U\,$)変化において以下の関係式がある。
$\quad dU=T\,dS-p\,dV\quad$ これを変形して
$\quad\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p\quad\cdots\,$(11)

という式を作ることが出来る。これに$\,T\,$一定の条件下で$\,V\,$を変化させ、マクスウェルの関係式を当てはめる。電磁波の場合、この左辺はエネルギー密度$\,u\,$になる。

圧力$\,p\,$に式(10)を代入すると式(11)は
$\quad u=\dfrac{1}{3}\,T\,\dfrac{du}{dT}-\dfrac{u}{3}\\[4pt]\therefore\,4u=T\,\dfrac{du}{dT}\qquad\dfrac{du}{u}=4\,\dfrac{dT}{T}\\[4pt]\quad\log u=4\log T+C\qquad\therefore\,\,u=aT^4\quad\cdots\text{(12)}$となり、形の上ではステファン・ボルツマンの法則と同じものが導かれたことになる。

しかし$\,u\,$というのは、物体と電磁場とが熱平衡にあるときの電磁場のエネルギー密度を示しているのであって、物体から放出されるエネルギー$\,K\,$とは少し違う概念である。

7. 概念の整理
$\,K\,$の意味を「物体の単位表面積から単位時間あたりに放出されるエネルギー」だと言えるようにまとめることが出来れば使いやすい法則になりそうである。
微小面積$\,dS\,$から放出される電磁波をイメージする。
その微小面の法線方向から$\,\theta\,$だけずれた方向へ向かって微小時間$\,dt\,$に出て行った電磁波は、図のような筒状体積の内部にあることになるだろう。その体積は$\,c\,\cos\theta\,dtdS\,$である。

しかしこの筒状体積とエネルギー密度$\,u\,$をかけるだけで、そのエネルギー量が求まるほど単純ではない。なぜなら、このエネルギー密度$\,u\,$というのは、あらゆる方向に向かう電磁波が均等に重なり合った合計のエネルギー密度を表しているからである。

今知りたいのは、$\,\theta\,$方向へ流れる電磁波のエネルギーだけなのだが、その割合は全方向に向かう電磁波のエネルギーの中でどれくらいあると言えるだろうか。いや、厳密に$\,\theta\,$方向に向かう電磁波だけに限定してしまうとそれは無に等しいのである。だからある程度の微小幅を許容して考えないといけない。

こういう時は立体角の考えを使う。半径1の球殻を考え、その表面積の比で表すのである。角度$\,d\theta\,$と$\,d\phi\,$によって張られる球殻上の微小表面積は$\,sin\theta\,d\theta\,d\phi\,$と表されるから、全球殻の面積$\,4\pi\,$と比べた割合は$\,1/4\pi\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,$となるだろう。

先ほど考えた筒状領域を、厳密に一方向として考えるのではなく、角度$\,d\theta\,$と$\,d\phi\,$の微小角度の幅を許してやれば、その範囲を向いている電磁波のエネルギーは

$\quad\dfrac{1}{4\pi}uc\,\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,dt\,dS\quad\cdots\,$(13)

と表せることになる。この式(13)を微小面より上にある全ての方向について積分してやれば、微小面$\,dS\,$から微小時間$\,dt\,$内にあらゆる方向へ出て行くエネルギーを表せる。

$\quad\dfrac{1}{4\pi}uc\,dt\,dS\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\displaystyle\int_0^{2\pi}d\phi\\[3pt]\qquad=\dfrac{1}{2}uc\,dt\,dS\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\,d\theta\\[3pt]\quad =\dfrac{1}{2}uc\,dt\,dS\left[-\dfrac{1}{4}\cos 2\theta\right]_0^{\pi/2}\\[3pt]\quad =\dfrac{1}{4}uc\,dt\,dS\quad\cdots\,\text{(14)}$

意味を考えれば今計算したのは$\,K\,dt\,dS\,$のことでもある。つまり$\,K\,$というのは、

$\quad K=\dfrac{c}{4}u\quad\cdots\,$(15)
に相当することが言えるのである。ここに先ほどの$\,u=aT^4\,$を代入すれば、

$\quad K=\dfrac{ca}{4}\,T^4=\,\sigma T^4\quad\cdots\,$(16)

という形が成り立っていることが言えるのである。普通はステファン・ボルツマンの法則と言えば、ここで使ったような意味での$\,K\,$と温度$\,T\,$の関係のことであり、「ステファン・ボルツマンの定数」として良く知られた$\,\sigma\,$もその意味に合うような数値が書かれていることが多い。

ちょっと勉強を

放送大学での天文での研究として、恒星について報告書（修論）を出したんですが、結果が中途半端でした。連星での質量のやりとりをH$\alpha$線のスペクトルを観測して調べようというものです。近接連星なので片方（質量の小さい）から大量の水素が流れ込んでいます。水素の温度は1万$^{\circ}$Kを超えており、もう片方の星に落ちるときはそのエネルギーで、H$\alpha$線のスペクトルが輝線または吸収線として現れます。
表面近くからスペクトル線が観測されると予想していたら、両方の共通重心の位置からしか観測されません。これを少しでも理解するためには、物理の知識が必要です。
高温なので当然、プラズマになっているので形としては「電磁流体解析」となるようです。まずは、流体力学を勉強しないとということで、入門書から始めます。
テキストとして、日本機械学会のJSMEシリーズの「流体力学」用います。

レーン=エムデン方程式(3)

レーン=エムデン方程式は以下の形で表される

$\quad\dfrac{1}{\xi^2}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)=-\theta^N\qquad\cdots\,$(1)

境界条件は、$\xi\to 0\,$のとき$\,\theta=1\,,\,\dfrac{d\theta}{d\xi}=0\,$である。

［１］中心近傍での扱い
この方程式は$\xi=0\,$が確定特異点になっている。この場合、特異点近傍でローラン級数展開を考える。$\xi=0\,$の周りの形式解を以下のようにする。

$\quad\theta(\xi)=1+a_2\xi^2+a_4\xi^4+\cdots\qquad$(2)

式(2)を式(1)の左辺に代入する。まず、$\xi\,$で微分すると

$\quad\dfrac{d\theta}{d\xi}=2a_2\xi+4a_4\xi^3+\cdots\qquad$(3)

さらに$\xi^2\,$をかけて微分すると

$\quad\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)=6a_2\xi^2+20a_4\xi^4+\cdots\qquad$(4)

$\therefore\,\,$左辺$\,\,=6a_2+20a_4\xi^2+\cdots\qquad$(5)

右辺は、まず$B_2=a_2\xi^2\,,\,B_4=a_4\xi^4\,,\cdots\,$として、

$\quad(1+B_2+B_4+\cdots)^N\,$の展開を考える。

最初の$\,1\,$の項は$\,1^NB_2^0B_4^0\cdots\,$であるので、

係数は$\,\dfrac{N!}{N!0!0!\cdots}\,$となる。

次の項は$1^{N-1}B_2^1B_4^0\cdots\,$で、

係数は$\,\dfrac{N!}{(N-1)!1!0!\cdots}\,$となり、

次の$1^{N-1}B_2^0B_4^1B_6^0\cdots\,$の係数は

$\,\dfrac{N!}{(N-1)!0!1!0!\cdots}\,$となる。因って

$\quad(1+B_2+B_4+\cdots)^N=1+NB_2+NB_4+\cdots\qquad$(6)

右辺$\,=-\theta^N=-1-Na_2\xi^2-Na_4\xi^4-\cdots\,$となるので

$\,\xi^m\,$の係数を比較すると

$\quad 6a_2=-1\,,\qquad 20a_2=-Na_4\qquad$となり

$\quad a_2=-\dfrac{1}{6}\,,\qquad a_4=\dfrac{N}{120}\quad$を得る。

よって中心近傍での解は

$\quad \theta(\xi)\simeq 1-\dfrac{1}{6}\xi^2+\dfrac{N}{120}\xi^4\quad\cdots\,$(7)

と表すことが出来る。

［２］数値計算
この方程式は(その2)で求めた解析解以外の解は数値計算に因らざる得ない。
$\bigstar\,$常微分方程式の解法
$\quad\dfrac{dy_i}{dx}=f_i[x,y_i(x)]\quad i=1,2,\dots\quad$(8)

を初期値問題として数値的に解く。
まず、$x=x_0\,$において初期値$\,y_i(x_0)=y_{i0}\,$が与えられたとき、$x=x_0+h\,$での$\,y_i\,$の値$\,y_i(x_0+h)\,$をもとめ、次のステップでその$\,(x,y_i)\,$を新たな初期値として処理を繰り返す。
$x_0\,$と$\,x_0+h\,$の間の中間の$\,x\,$における導関数、$f(x,y)\,$の関数値を何回か計算し、それらの適当な平均を用いることによって、高次のTaylor展開を達成するのが Runge-Kutta 法である。

$\bigstar\,$Runge-Kutta 法
$\quad k_1=hf(x_0,y_0)\qquad\qquad\qquad\cdots\,$(9)
$\quad k_2=hf(x_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{k_1}{2})\qquad\cdots\,$(10)
$\quad k_3=hf(x_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{k_2}{2})\qquad\cdots\,$(11)
$\quad k_4=hf(x_0+h,y_0+k_3)\qquad\cdots\,$(12)
$\quad y(x_0+h)=y(x_0)+\frac{1}{6}[K_1+2(K_2+k_3)+k_4]\,\cdots\,$(13)

まず点($\,x_i,y_i\,$)での微係数から$\,y\,$の増分$\,k_1\,$を推定する(式9)。次に($\,x_i,y_i\,$)と今得た点($\,x_i+\Delta x,y_i+k_1\,)$の中間点での微係数から、これに平行な破線で示す直線によって増分$\,k_2\,$の推定を行う(式10)。これより第３の推定点$(\,x_i+\Delta x,y_i+k_3\,)$を得る。第４の推定点まで求めたところで、これら４つの増分推定を$\,1:2:2:1\,$の重みを付けて平均化し、これを最終的な増分推定として$\,y_{i+1}\,$を求める(式13)。この式は Taylor展開の４次の精度を持つ。

$\bigstar\,$ 初期値とプログラミング
解くべき式は(1)式だが、$\xi=x\,,\,\theta=y\,$と書き換えて見やすくする。

$\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-y^N\quad x\!=\!0\quad y\!=\!0\,,\,\dfrac{dy}{dx}=0\,\cdots\,$(14)
この常微分方程式を連立１階微分方程式に変換する。

$y1=y\,,\quad y2=x^2\dfrac{dy}{dx}\,$とおくと
$\quad \dfrac{dy1}{dx}=\dfrac{y2}{x^2}\qquad\cdots\,$(15)
$\quad \dfrac{dy2}{dx}=-x^2y1^N\qquad\cdots\,$(16)

初期値としては$\,xi=x=0\,$でなく、演算の刻み$\,\xi=x=h\,$とし、$y1\,$は式(7)を使い
$\quad y1=1-\dfrac{1}{6}h^2+\dfrac{N}{120}h^4\quad\cdots\,$(17)

$y2\,$は、$\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}=y2\quad$としたので
$\quad y2=h^2\left(-\dfrac{1}{3}h+\dfrac{N}{30}h^3\right)=-\dfrac{1}{3}h^3+\dfrac{N}{120}h^4\quad\cdots\,$(18)
で設定する。
計算は中心$\,\,\xi=x=h\,\,$から始めて、密度係数がゼロ$\,\,\,\theta=y1=0\,\,$となる表面までを積分する。また$\,\,h=1.0\times10^{-6}\,\,$とした。

［３］数値計算による結果
$N\,$を$0\sim 4.5\,$まで計算した結果をグラフと表に示す。

この表は、$N=n\,$でガス球の表面（圧力ゼロ$\,\theta=0\,$）の時の$\,\xi_n\,$とそこでの$\,-1/\xi\,(d\theta/d\xi)\,$で、中心密度$\rho_c\,$を計算するためのパラメータである。

Nの値	$\xi_n$	$\left(-\frac{1}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}$
$0.0$	$2.549$	$3.291\times10^{-1}$
$0.5$	$2.753$	$1.816\times10^{-1}$
$1.0$	$3.142$	$1.013\times10^{-1}$
$1.5$	$3.654$	$5.564\times10^{-2}$
$2.0$	$4.353$	$2.923\times10^{-2}$
$2.5$	$5.355$	$1.424\times10^{-2}$
$3.0$	$6.897$	$6.152\times10^{-3}$
$3.5$	$9.536$	$2.180\times10^{-3}$
$4.0$	$14.972$	$5.356\times10^{-4}$
$4.5$	$31.836$	$5.386\times10^{-5}$

$\bigstar\,$結果の見方
$\xi\,$は $\,R=\alpha\xi=\left[\dfrac{(N+1)K}{4\pi G}\rho_c^{\frac{1}{N}-1}\right]^{1/2}\xi\,\cdots$(21)　である。

また中心から$\,\xi\,$より内側に含まれる質量$\,m(\xi)\,$は
$\quad m(\xi)=\displaystyle\int_0^{\alpha\xi}4\pi\rho r^2dr$
$\qquad\quad =4\pi\alpha^3\rho_c\displaystyle\int_0^{\xi}\xi^2\theta^Nd\xi$
$\qquad\quad =-4\pi\alpha^3\rho_c\displaystyle\int_0^{\xi}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)d\xi$
$\qquad\quad =-4\pi\alpha^3\rho_c\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\quad\cdots\,$(22)
で与えられる。したがって星の全質量$\,M\,$は
$\quad M=-4\pi\alpha^3\rho_c\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}$
$\qquad =-4\pi\left[\dfrac{(N+1)K}{4\pi G}\rho_c^{\frac{1}{N}-1}\right]^{3/2}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}\,\cdots\,$(23)
ここで星の平均密度$\,\bar{\rho}\,$を考える。
$\quad\bar{\rho}=\dfrac{M}{4\pi R^3/3}=\dfrac{3M}{4\pi R^3}$
$\qquad =-\dfrac{3}{4\pi\alpha^3\xi_n^3}\cdot4\pi\alpha^3\rho_c\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}$
$\qquad =-\dfrac{3}{\xi_n}\rho_c\left(\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}\quad\cdots\,$(24)

$\bigstar\,$太陽の場合
これらの関係を太陽の場合で計算してみる。太陽の半径$\,R=6.960\times10^8$m 、質量$\,M=1.9884\times10^{30}$kg と、恒星の場合に適応できるポリトロープ指数$\,N=3\,\,(\Gamma=\frac{4}{3}\,)\,$の計算結果を用いる。
$\quad\rho_c=\dfrac{M}{4\pi R^3}\left(-\dfrac{1}{\xi}\dfrac{d\theta}{d/xi}\right)_{\xi=\xi_n}^{-1}\quad\cdots\,$(25)

$\qquad=\dfrac{1.9884\times10^{30}}{4\pi\cdot (6.960\times10^8)^3\cdot6.152\times10^{-3}}$

$\qquad =7.629\times10^4\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}$
理科年表によると$\,\rho_c=1.56\times10^5\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\,$*となっており、計算値は約半分である。まあ、天文のざっくりモデルでの計算としては、まあ合っているといえる。
*[参考]理科年表の太陽の構造の部分

レーン=エムデン方程式(2)

その１で導出したレーン=エムデン方程式は
$\quad\dfrac{1}{\xi^2}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)=-\theta^N\quad\cdots\,$(1)
で、$\,\theta\,$は無次元化した密度、$\,\xi\,$は無次元化した半径である。中心での境界条件は、$\xi\to 0\,$のとき$\,\theta=1\,,\,\dfrac{d\theta}{d\xi}=0\,$である。

［１］$N=0\,$の時の解析解
式(1)を一般の$\,N\,$について解析解は得られないが、$N=0\,,\,1\,,\,5\,$の時は得ることが出来る。
なお、以降は見やすくするために$\,\xi\,,\,\theta\,$を$\,x\,,\,y\,$と記述する。式(1)は
$\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-x^N\quad\cdots\,$(2)
となる。ここに$\,N=0\,$を代入すると
$\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-1\quad\cdots\,$(3)
両辺に$\,x^2\,$をかけると
$\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-x^2\quad\cdots\,$(4)

この式の両辺を$\,x\,$で積分すると
$\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}x^3+C_1\,\cdots\,$(5)
となる。$C_1\,$は積分定数。両辺を$\,x^2\,$で割ると
$\quad\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{C_1}{x^2}\quad\cdots\,$(6)

再度$\,x\,$で積分すると
$\quad y=-\dfrac{1}{6}x^2-\dfrac{C_1}{x}+C_2\quad\cdots\,$(7)
ここで、$\,x=0\,$のとき$\,y=1\,$の条件を満たすためには、$C_1=0\,$で$\,C_2=1\,$とする必要がある。よって、$N=0\,$の時は
$\quad y=1-\dfrac{1}{6}x^2\quad\cdots\,$(8)
となる。

［２］$N=1\,$の時の解析解
式(2)に$\,N=1\,$を代入すると
$\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)+y=0\quad\cdots\,$(9)
ここで、$z=xy\,$とすると
$\quad\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{x}\right)=\dfrac{1}{x}\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{z}{x^2}\quad\cdots\,$(10)

式(10)の両辺に$\,x^2\,$をかけると
$\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=x\dfrac{dz}{dx}-z\quad\cdots\,$(11)
となり、これを$\,x\,$で微分すると
$\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(x\dfrac{dz}{dx}-z\right)=x\dfrac{d^2z}{dx^2}\quad\cdots\,$(12)
式(12)を式(9)に代入すると
$\quad\dfrac{1}{x}\dfrac{d^2z}{dx^2}+y=\dfrac{d^2z}{dx^2}+z=0\quad\cdots\,$(13)
という2階微分方程式になる。

この方程式の解は
$\quad z=A\cos x+B\sin x$
で、$z=xy\,$と変数を元に戻すと
$\quad y=\dfrac{A\cos x}{x}+\dfrac{B\sin x}{x}\quad\cdots\,$(14)

ここで、$x\to 0\,$の時、$y\to 1\,$なので、$A=0\,,B=1\,$となり
$\quad y=\dfrac{\sin x}{x}\quad\cdots\,$(15)
となる。

［３］$N=5\,$の時の解析解
式(2)に$\,N=5\,$を代入すると
$\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-y^5\quad\cdots\,$(16)

ここで、特殊な変数変換を行う。
$\quad x=e^{-t}\quad\cdots\,$(17)
$\quad y=\sqrt{\dfrac{1}{2}e^t}\,Z\quad\cdots\,$(18)
式(17)より
$\quad\dfrac{dx}{dt}=-x\quad\cdots\,$(17)

また、$Z\,$の$\,x\,$微分は
$\quad\dfrac{dZ}{dx}=\dfrac{dZ}{dt}\dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{x}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,$(18)

微分演算子には以下の関係がある
$\quad\dfrac{d}{dx}=-\dfrac{1}{x}\dfrac{d}{dt}\quad\cdots\,$(19)

まず、式(18)を$\,x\,$で微分すると
$\quad\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}Z+\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dx}$
$\qquad=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}Z-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,$(20)

式(20)の両辺に$\,x^2\,$をかけると
$\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}Z-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,$(21)

この式(21)を$\,x\,$で微分する
$\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}$
$\qquad\qquad-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)$
$\qquad=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z+\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{d^2Z}{dt^2}\quad\cdots\,$(22)

ここで
$\quad -x^2y^5=-x^2\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{5}{2}}Z^5=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z^5\quad\cdots\,$(23)
なので式(22)(23)を(16)に代入すると
$\quad-\dfrac{1}{4}Z+\dfrac{d^2Z}{dt}=-\dfrac{1}{4}Z^5\quad$より
$\quad\dfrac{d^2Z}{dt^2}=\dfrac{1}{4}Z(1-Z^4)\quad\cdots\,$(24)
という形に書き直すことができる。式(24)の両辺に$\dfrac{dZ}{dt}\,$をかけると
$\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\left(\dfrac{d^2Z}{dt^2}\right)=\dfrac{1}{4}Z\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)-\dfrac{1}{4}Z^5\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\,\cdots\,$(25)

ここで左辺は以下のように変形でき
$\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\left(\dfrac{d^2Z}{dt^2}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\left[\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2\right]\quad\cdots\,$(26)

右辺の計算も
$\quad Z\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\left(Z^2\right)\quad\cdots\,$(27)
と変形できるので、式(25)は
$\quad\dfrac{d}{dt}\left[\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\dfrac{d}{dt}\left(Z^2\right)-\dfrac{1}{12}\dfrac{d}{dt}\left(Z^6\right)\quad\cdots\,$(28)

$\,t\,$で積分すると
$\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2=\dfrac{Z^2}{4}-\dfrac{Z^6}{12}+D\quad\cdots\,$(29)
となる。$\,D\,$は積分定数である。$x\to 0\,$のとき、$Z=0\,dZ/dt=0\,$なので、$D=0\,$である。よって次の式が得られる。

$\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=\pm\dfrac{1}{2}dt\quad\cdots\,$(30)
左辺の正負の符号は境界条件より負を選択する。
$\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=-\dfrac{1}{2}dt\quad\cdots\,$(31)

この方程式を解くために、さらなる変数変換を行う。
$\quad\dfrac{1}{3}Z^4=\sin^2\phi\quad\cdots\,$(32)
この式の微分形は以下のようになる。
$\quad\dfrac{4}{3}Z^3\,dZ=2\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi\quad\cdots\,$(33)

式(32)(33)を(31)の左辺に代入すると
$\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=\dfrac{1}{Z\sqrt{1-\sin^2\phi}}\dfrac{3}{4Z^3}2\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi$
$\qquad=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{Z^4}\dfrac{\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\phi}}=\dfrac{1}{2\sin^2\phi}\dfrac{\sin\phi\,\cos\phi}{\cos\phi}d\phi$
$\qquad=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sin\phi}\,d\phi=\dfrac{1}{2}\mathrm{cosec}\,\phi\,d\phi\quad\cdots\,$(34)
より(31)の方程式は以下の形に変形できる。

$\quad\mathrm{cosec}\,\phi=-dt\quad\cdots\,$(35)
両辺を積分すると
$\quad\ln\left|\tan\dfrac{\phi}{2}\right|=-t+C’\quad\cdots\,$(36)
より
$\quad\tan\dfrac{\phi}{2}=Ce^{-t}\quad\cdots\,$(37)

ここで、式(32)から
$\quad Z^4=3\sin^2\phi=\dfrac{12\tan^2\frac{\phi}{2}}{\left(1+\tan^2\frac{\phi}{2}\right)^2}\quad\cdots\,$(38)
この式(38)に式(37)を代入すると
$\quad Z^4=\dfrac{12C^2e^{-2t}}{(1+C^2e^{-2t})^2}$
$\quad Z=\pm\left[\dfrac{12C^2e^{-2t}}{(1+C^2e^{-2t})^2}\right]^{\frac{1}{4}}\quad\cdots\,$(39)

ここで、$Z\,$は式(18)より正で、式(17)(18)を代入すると
$\quad y=\left[\dfrac{3C^2}{(1+C^2e^{-2t})^2}\right]^{\frac{1}{4}}=\left[\dfrac{3C^2}{(1+C^2x^2)^2}\right]^{\frac{1}{4}}\quad\cdots\,$(40)

$x=0\,$で$\,y=0\,$という条件なので、
$\quad 1=(3C^2)^{\frac{1}{4}}\quad$より$\quad C^2=\dfrac{1}{3}\quad$が得られ
$\quad y=\left[\dfrac{1}{(1+\frac{1}{3}x^2)^2}\right]^{\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}x^2}}\quad\cdots\,$(41)
となる。

これまでの経緯

やってみたかった事

・高校では『天文研』に所属して、太陽の黒点の観測や夏の奥多摩での観測合宿などやってそれなりに、天文してました。完成はしませんでしたが、放課後交代で反射鏡を磨いていました。その後、大学と生業は『化学』という天文とは多少距離がある分野で長らく過ごしていました。
・やってみたかったと言うほどではないですが、いつかは．．．的な思いがあったのは、確かです。

放送大学で

・一応、定年（６０歳）後を見据えて５０代から、放送大学の専科履修生として勉強していました。定年後に放送大学の「自然と環境コース」に全科履修生として入学しました。(2013年度)
・それまで、専科履修生で取得した単位があったので、3年からの編入としました。昔の大学の単位を認定してくれる制度はあったようですが、面倒だと考えて語学も含めて全ての単位を放送大学で取得することにしました。その夏には卒業研究の申請を提出しています。
・それまで学習センターは試験や面接授業でしか利用していませんでしたが、いろいろなサークルなどがあり、先輩諸兄が指導してくれる環境がありがたかったです。卒論はどうせなら$\,\mathrm{\TeX}\,$を使いたいと思っていたところ、サークルにて$\,\mathrm{\TeX}\,$の講座を開催してくれたので、渡りに船と勉強させてもらいました。
・自然科学系の卒研に必要な科目と言ったら、まず数学です。一応、工学部だったのですが、昔取った杵柄が全く役に立ちませんでした。その数学を親切に教えてくださる先輩がいて、初歩から(再?)勉強させてもらっています。

天文での卒研

・卒業研究は天文を選択しました。報告書（卒論）はもちろん$\,\mathrm{\TeX}\,$で記述しました。放送大学のWAKABAの(資料)の「卒業研究資料_2014年度_06_自然と環境」に掲載されています。テーマはKeplar望遠鏡の観測データを使用した「連星の黒点挙動」です。

$\,\mathrm{\TeX}\,$について

・そんな感じで、備考録では$\,\mathrm{\TeX}\,$を使える環境をということで、ロリポップのレンタルサーバーの上で WordPress を使っています。
参考までに MathJaxの表示設定はこちらです。
<script type=”text/javascript” async=”” src=”https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML”></script>
この方式でなくともプラグインして［mathjax］(括弧は半角)と文頭で宣言すればよいらしいですが．．．今のところ、うまく行かないので、文頭にスクリプトを書いています。

ポリトロープについて

・恒星は天文の勉強の基本です。ポリトロープは恒星の入門コースとなっています。これから導かれるレーン=エムデン方程式は、恒星物理学の基本です。約6年前勉強した内容を忘れないようにということで、ここに残します。
・振り子は最近までちゃんとした計算を知りませんでした。そんなんで、勉強した楕円積分とともに、備考録の最初に残しておきます。

	\(\mu\) (kg)	回転定数\(\,B\) (Hz)	\(B\,\)cm\(^{-1}\)	結合距離 \(r\,\mathring{\mathrm{A}}\)
\(^{12}\)CO	\(1.139\!\times\!10^{-26}\)	\(5.793\times 10^{10}\)	\(1.932\)	\(1.128\)
\(^{13}\)CO	\(1.191\!\times\!10^{-26}\)	\(5.538\times 10^{10}\)	\(1.847\)	\(1.128\)
NO		\(5.012\!\times\!10^{10}\)	\(1.672\)	\(1.151\)

Nの値	\(\xi_n\)	\(\left(-\frac{1}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_n}\)
\(0.0\)	\(2.549\)	\(3.291\times10^{-1}\)
\(0.5\)	\(2.753\)	\(1.816\times10^{-1}\)
\(1.0\)	\(3.142\)	\(1.013\times10^{-1}\)
\(1.5\)	\(3.654\)	\(5.564\times10^{-2}\)
\(2.0\)	\(4.353\)	\(2.923\times10^{-2}\)
\(2.5\)	\(5.355\)	\(1.424\times10^{-2}\)
\(3.0\)	\(6.897\)	\(6.152\times10^{-3}\)
\(3.5\)	\(9.536\)	\(2.180\times10^{-3}\)
\(4.0\)	\(14.972\)	\(5.356\times10^{-4}\)
\(4.5\)	\(31.836\)	\(5.386\times10^{-5}\)

2024年4月
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29	30

1．音波

1. 地球電離圏

2. 酸素の電離

3. プラズマ振動

1.ガス粒子の衝突

2.宇宙流体での衝突

1. 流体粒子と流体運動の扱い

2. テーラー展開

3. ラグランジュ微分

１．はじめに

２．勾配、発散、回転

３．計算例－１

［１］マックスウェル方程式

［２］マックスウェル方程式の展開

［3］波動方程式の一般解

［4］電磁波の伝搬する速さ

1.経緯

2.レポート課題

3.方程式の導出

4.方程式の解法

5.正則行列の逆行列

◇ 大小球の正面衝突

◇ ３球での衝突問題

1.経緯

2.実験

撮影した動画の抜粋

3.実験結果

4.検討1：振幅の小さい場合

5.検討2：振幅が大きい場合

5.1 楕円積分の計算

1. ミクロの世界の量子状態

2.分子の回転

1．前準備

2．４次元時空での運動

やってみたかった事

放送大学で

天文での卒研

\(\,\mathrm{\TeX}\,\)について

ポリトロープについて