1.ガス粒子の衝突
宇宙での流体を考える際、ガスの力学的な時間に対して電子・分子の衝突時間が十分に短い場合、流体近似が成り立つ。
これは速度空間が十分に緩和して、連続体として見なせる状態である。気体を１種類の分子からなっており、半径\(\,r\,\)の剛体球で、ある分子１個が一定の速さ\(\,v\,\)で運動し、他の分子は静止しているという前提で衝突を考える。
分子間の距離が\(\,2r\,\)になると衝突するので、衝突断面積は\(\,2\pi(2r)^2\,\)であり、単位体積当たり\(\,n\,\)個の分子が分布する中を速さ\(\,\langle v\rangle\,\)で走る分子は平均時間間隔\(\quad\tau=\dfrac{1}{n\pi(2r)^2\langle v\rangle}\quad\)で衝突を繰り返すことになる。
この時間\(\,\tau\,\)のことを平均自由時間または緩和時間という。また、分子は衝突の間に平均\(\quad l_M=\langle v\rangle r=\dfrac{1}{n\pi(2r)^2}\quad\)の距離だけ動くことが出来る。この\(\,l_M\,\)を平均自由行程と呼ぶ。
\(\star\,\)まず、全部の分子が同じ速度で運動している場合を考える。
１つの分子の速度(速さではなく)を\(\,\bm{v}\,\)とし、もう一つの分子の速度を\(\,\bm{v}’\,\)とする。２つの分子の相対速度を\(\,\bm{v}_r\,\)とすると、これらの関係は左図のようになる。
余弦定理から\(\quad\bm{v}_r^2=\bm{v}^2+\bm{v}’^2-2\,\bm{vv}’\cos\theta\quad\)の関係を導く。ここで\(\,|\bm{v}|=|\bm{v}’|\,\)とすると、\(\,v_r\,\)は
\(\,v_r=\sqrt{2v^2-2v^2\cos\theta}=v\sqrt{4\dfrac{1-\cos\theta}{2}}=2v\sin\frac{\theta}{2}\) となる。
同じ\(\,\theta\,\)をもつ衝突について、紙面の内外での確立に差がないとして、立体角の要素を計算する。
\(\quad\di\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\omega=\int_0^{\pi}2\pi\sin\theta\,d\theta\quad\)そして、\(\,v_r\,\)の平均値は次のようになる。
\(\,\bar{v}_r=\dfrac{\di\int_0^{\pi}2v\sin\frac{\theta}{2}2\pi\sin\theta d\theta}{\di\int_0^{\pi}2\pi\sin\theta d\theta}=\dfrac{4\pi v\di\int_0^{\pi}\sin\frac{\theta}{2}\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}d\theta}{2\pi\left[-\cos\theta\right]_0^{\pi}}=2v\di\int_0^{\pi}\sin^2\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}d\theta\)
ここで\(\,\phi=\theta/2\,\)と置くと、\(d\theta=2d\phi\,\)となり、\(v_r\,\)は
\(\,v_r=4v\di\int_0^{\pi/2}\sin^2\phi\cos\phi\,d\phi=2v\di\int_0^{\pi/2}\sin 2\phi\cos\phi\,d\phi=2v\di\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{2}\left(\sin 3\phi\,\sin\phi\right)d\phi\)
よって、\(v_r=v\left[-\dfrac{1}{3}\cos 3\phi-\cos\phi\right]_0^{\pi/2}=\dfrac{4}{3}v\quad\)となる。
\(\star\,\)次に、速度が違う場合を考える。
同じく余弦定理\(\quad\bm{v}_r^2=\bm{v}^2+\bm{v}’^2-2\,\bm{vv}’\cos\theta\quad\)から同じように立体角と角度の積分の計算するが、ちょっと複雑なので結果だけを示す。\(\,v>v’\,\)の場合、相対速度は
\(\quad v_r=\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}\quad\)となる。
\(\star\,\)続いて、全ての分子が Maxwell-Boltzmann 分布で運動している場合を考える。
速度空間において、速さが\(\,v\,\)と\(\,v+dv\,\)の間にある分子数を求める。そのためには\(F(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z\,\)を\(\,v\,\)と\(\,v+dv\,\)の間にある部分について\(\,v_x,v_y,v_z\,\)の積分をする。
この部分の球殻の体積は\(\,4\pi v^2dv\,\)であるので、この球殻に含まれる分子数は、全体の分子数を\(\,N\,\)、分子の質量を\(\,m\,,\,\alpha=\dfrac{m}{2k_BT}\,\)とおくと
\(F(v_x,v_y,v_z)dv=N\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\exp(-\alpha(v_x^2+v_y^2+v_z^2)4\pi v^2dv\,\)となり、
\(F(v)dv=4\pi N\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}v^2\,e^{-\alpha\,v^2}dv\quad\)となる。
以降、\(\,F(v)\,\)は割合を表すととし全体の分子数を省略する。
\(\quad F(v)=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\exp(-\alpha v^2)dv\qquad\)とする。
これは水素分子の各温度毎(K)の速度分布を計算したものである。
\(\,\bullet\,\)分布関数の最大値\(\,v_{max}\,\)を求める。
\(\quad\dfrac{dF}{dv}=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}(2v-2\alpha v^3)e^{-\alpha v^2}=0\quad\)より
\(\quad 1-\alpha v^2=0\quad\)なので、\(\,v_{max}=\dfrac{1}{\sqrt{\alpha}}\)
\(\,\bullet\,\)続いて分布関数の平均値\(\,\langle v\rangle\,\)を求める。
\(\quad\langle v\rangle=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\di\int_0^{\infty}v^3e^{-\alpha v^2}dv\quad\)ここで、\(v^2=w\quad\)とおくと、\(\,dv=\dfrac{1}{2v}dw\quad\)より
\(\quad\di\int_0^{\infty}v^3e^{-\alpha v^2}dv=\di\int_0^{\infty}\dfrac{w}{2}e^{-\alpha w}dw=\left[\dfrac{w}{2}e^{-\alpha w}\dfrac{(-1)}{\alpha}\right]_0^{\infty}-\di\int_0^{\infty}\dfrac{1}{2}e^{-\alpha w}\dfrac{(-1)}{\alpha}dw\)
\(\qquad =\dfrac{(-1)}{2\alpha}\left[\dfrac{w}{e^{\alpha w}}\right]_0^{\infty}+\dfrac{1}{2\alpha}\di\int_0^{\infty}e^{-\alpha w}dw=0+\dfrac{1}{2\alpha}\dfrac{(-1)}{\alpha}\left[e^{-\alpha w}\right]_0^{\infty}=\dfrac{1}{2\alpha^2}\quad\)なので
\(\quad\langle v\rangle=4\pi\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{3/2}\dfrac{1}{2\alpha^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi\alpha}}\quad\)と計算できる。
\(\,\bullet\,\)続いて標的分子が分布関数に従う場合の相対速度\(\,v_r’\,\)を求める。
速度が違う場合の\(\,v_r=\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}\,\)の式と分布関数\(\,F(v)=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha v^2}dv\,\)を使用する。
\(\quad v_r’=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\left\{\di\int_0^v\dfrac{3v^2+v’^2}{3v}v’^2\,e^{-\alpha v’^2}dv’+\di\int_v^{\infty}\dfrac{3v’^2+v^2}{3v’}v’^2\,e^{-\alpha v’^2}dv’\right\}\)
この計算は最終的にGauss関数(誤差関数)を含む以下の形になる。
\(\quad v_r’=\dfrac{1}{\sqrt{\alpha\pi}}\left\{e^{-\alpha v^2}+\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}\)
\(\,\bullet\,\)前項の結果を用いて、注目分子の速さの分布関数での相対距離\(\,v_r\,\)を求める。
\(\quad v_r=\alpha^{3/2}\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{\alpha\pi}}\di\int_0^{\infty}v^2e^{-\alpha v^2}\left\{e^{-\alpha v^2}+\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}dv\)
\(\qquad =\dfrac{4\alpha}{\pi}\left\{\di\int_0^{\infty}v^2e^{-2\alpha v^2}dv+\di\int_0^{\infty}v^2e^{-\alpha v^2}\left(\dfrac{\alpha v}{2}+\dfrac{1}{v}\right)\di\int_0^ve^{-\alpha v’^2}dv’\right\}dv\)
第一項の積分はガウス積分だが、第二項の計算は相当複雑である。最終結果は以下のようになる。
\(\quad v_r=\sqrt{\dfrac{8}{\pi\alpha}}=4\sqrt{\dfrac{k_BT}{\pi m}}=\sqrt{2}\,\langle v\rangle\quad\)のように、平均速さの\(\,\sqrt{2}\,\)倍になる。
2.宇宙流体での衝突
\(\star\,\)水素分子
水素分子で考える。分子半径が\(\,\,0.145\,\)nm なので、衝突断面積(\(\,\sigma\,\))は、
\(\quad\sigma=4\pi r^2=26.45\times 10^{-16}\)cm\(^2\,\)となる。
分子質量\(\,\,m\,\,\)は\(\,\,m=\dfrac{2}{N_A}=\dfrac{2}{6.02\times 10^{23}}=3.32\times 10^{-24}\,\)g なので、速さ\(\,\langle v\rangle\,\)は、
\(\quad\langle v\rangle =\sqrt{\dfrac{8k_BT}{\pi m}}=\sqrt{\dfrac{8\times 1.38\times 10^{-16}T}{\pi\times 3.32\times 10^{-24}}}=1.03\times 10^4\sqrt{T}\,\)cm/s となる。
相対速度\(\,\,v_r\,\,\)は\(\quad v_r=\sqrt{2}\,\langle v\rangle=1.46\times 10^4\sqrt{T}\,\,\)cm/s である。
ガス密度を\(\,\rho\,\)(g/cm\(^3\))\(\,\)とすると、分子密度\(\,n\,\)は、\(\,n=\rho/(2/N_A)=\rho\times 3.01\times 10^{24}\,\)となる。
緩和時間\(\,\tau\,\)(秒)は、\(\,\tau=\dfrac{1}{n\sigma\,v_r}=\dfrac{1}{\rho\times 3.01\times 10^{24}\times 26.45\times 10^{-16}\times 1.46\times 10^4\sqrt{T}}\)
最終的に\(\quad \tau=\dfrac{1}{1.16\times 10^{14}\,\rho\sqrt{T}}=\dfrac{1}{3.86\times 10^{-11}n\sqrt{T}}\,\)(秒)
\(\qquad =\dfrac{1}{3.86\times 10^{-11}n\sqrt{T}\times 3600\times\ 24 \times 365.25}=\dfrac{1}{1.22\times 10^{-3}n\sqrt{T}}\,\,\)(年)\(\quad\)となる。
星間雲\(\quad \rho=10^{-22}\,\)g cm\(^{-3}\quad n=301\,\,\)分子 cm\(^{-3}\quad T=10\,\)Kで考えると
\(\quad\tau=\dfrac{1000}{1.22\times 301\times\sqrt{10}}=0.86\,\,\)(年) となる。
\(\star\,\)水素プラズマ
電子の衝突は、電子の運動エネルギーとクーロンポテンシャルが同程度になる距離なので
\(\quad \dfrac{1}{2}m_ev_e^2\,\,\sim\,\,\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_0}\quad\Longrightarrow\quad r_0\,\,\sim\,\,\dfrac{e^2}{2\pi\epsilon_0m_ev_e^2}\quad\)となる。
衝突断面積\(\,\sigma\,\)は\(\quad\sigma=4\pi r_0^2\,\,\sim\,\,\dfrac{4\pi e^2}{4\pi^2\epsilon_0^4m_e^2v_e^4}\,\sim\,\dfrac{e^2}{\epsilon_0^2m_e^2v_e^4}\)
以降SI単位として計算する。\(\,k_B\,:\,1.38\times 10^{-23}\,\)JK\(^{-1}\quad m_e\,:\,9.11\times 10^{-31}\,\)kg
\(\qquad e\,:\,1.60 \times 10^{-19}\,\)C\(\qquad \epsilon_0=8.85\times 10^{-12}\)C\(^2\)N\(^{-2}\)m\(^{-2}\)
電子の速さを\(\,v_e=\sqrt{\dfrac{k_BT}{m_e}}\,\)とすれば\(\quad v_e=\sqrt{\dfrac{k_BT}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{1.38\times 10^{-23}T}{9.11\times 10^{-31}}}=3.89\times 10^3\sqrt{T}\,\,\)
\(\quad r_0=\dfrac{e^2}{2\pi\epsilon_0k_BT}=\dfrac{(1.60\times 10^{-19})^2}{2\pi\times 8.85\times 10^{-12}\times 1.38\times 10^{-23}T}=3.33\times 10^{-5}\dfrac{1}{T}\,\)m となる。
\(\blacklozenge\,\,\)どうもプラズマは、デバイ長やそれ以外の要素が大きいようで、単純な計算ではできないみたい。この検討はここまでとする。
◆ 参考文献
- 宇宙流体力学の基礎改訂版：福江 純、和田 桂一、梅村 雅之(2022)、日本評論社
- 天体物理学の基礎 I：観山 正見、野本 憲一、二間瀬 敏史(2010)、日本評論社
- 京大「エネルギー理工学設計演習・実験２(別冊)」
http://www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/people/ikuji/edu/vac/app-A/mfp.html - 「14. 衝突頻度と平均自由行程」広島大学 学術情報リポジトリ
https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/14983/files/40230
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