特殊相対論の質量とエネルギーの関係式を確認してみる
1．前準備
1-1. テイラー展開
閉区間 [\(\,a\,,\,b\,\)]で\(\,n\,\)回微分可能な関数\(\,f(x)\,\)において、\(n\to\infty\,\)にて
\(f(b)=f(a)\!+\!\dfrac{f'(a)}{1!}(b\!-\!a)\!+\!\dfrac{f”(a)}{2!}(b\!-\!a)^2\cdot\!+\!\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b\!-\!a)^n\,\)(1)
とできる。この (1)式を\(\,b=x\,\)とするのが別形である。
そして\(\,a=0\,\)とするのが マクローリン展開( Maclaurin expansion ) である。
\(\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\quad\cdots\,\)(2)
ここでは、ローレンツ変換で用いる関数\(\,\,f(x)=(1-x^2)^{-1/2}\,\,\)をマクローリン展開する。
1-2. \(\,\,f(x)\,\)の微分
\(\quad f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\quad\cdots\,\)(3)
を微分する。まず１回微分すると
\(\quad f'(x)=(-\dfrac{1}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}=x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}\quad\cdots\,\)(4)
２回微分では
\(\quad f^{\prime\prime}(x)=(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}+(-\dfrac{3}{2})(-2x)x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\qquad=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+3x^2(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\quad\cdots\,\)(5)
さらに微分すると
\(\quad f^{\prime\prime\prime}(x)=(-\dfrac{3}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\qquad +3x^2(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad =3x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+6x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad =9x(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+15x^3(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\quad\cdots\,\)(6)
\(\quad f^{(4)}(x)=9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+9x(-\dfrac{5}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}\)
\(\qquad+45x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+15x^3(-\dfrac{7}{2})(-2x)(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad =9(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}+90x^2(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+105x^4(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\quad\)(7)
\(\quad f^{(5)}(x)=225x(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+1050x^3(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad +945x^5(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}\quad\cdots\,\)(8)
\(\quad f^{(6)}(x)=225(1-x^2)^{-\frac{7}{2}}+4725x^2(1-x^2)^{-\frac{9}{2}}\)
\(\qquad +7875x^4(1-x^2)^{-\frac{11}{2}}+10395x^6(1-x^2)^{-\frac{13}{2}}\quad\cdots\,\)(9)
1-3. \(\,\,f(x)\,\)のマクローリン展開
\(\quad f^{(n)}(x)\,\)に\(\,x=0\,\)を代入すると、
\(\quad f(0)=1\,,\quad f'(0)=0\,,\quad f^{\prime\prime}(0)=1\,,\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=0\)
\(\quad f^{(4)}(0)=9\,,\quad f^{(5)}(0)=0\,,\quad f^{(6)}(0)=225\)
なので、それぞれの値を(2)式に代入すると
\(\quad f(x)=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}=1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{8}x^4+\dfrac{5}{16}x^6+\cdots\,\,\)(10)
のように展開することが出来る
2．４次元時空での運動
2-1. 固有時間
慣性系\(\,S(t,x,y,z)\,\)と慣性系\(\,S'(t’,x’,y’,z’)\,\)において、
\(\quad dt=t’-t\,,\quad dx=x’-x\,,\quad dy=y’-y\,,\quad dz=z’-z\)
とすると、事象の隔たりを 世界距離( world distance :\(\,ds\,\) )といい、次の式で表される。
\(\quad ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad\cdots\,\)(11)
ここで空間座標をまとめて\(\,\mathbf{x}\,\)で表すと
\(\quad ds^2=c^2dt^2-d\mathbf{x}^2\quad\cdots\,\)(12)
慣性系\(\,S’\,\)が\(\,S\,\)に対して、速度\(\,v\,\)で等速運動しているとすると、
ローレンツ変換 (Lorentz transformation )は
\(\quad\left(\begin{array}{c}\bf{x’}\\ct’\end{array}\right)=\gamma\left(\begin{array}{cc}1&\beta\\ \beta&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\bf{x}\\ct\end{array}\right)\quad\cdots\,\)(13)
ここで、\(\beta=\dfrac{v}{c}\,\)であり\(\quad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\,\)である。
この\(\,ds^2\,\)はローレンツ変換で不変である。
\(\quad ds^2=-c^2dt^2+d\mathbf{x}^2=-c^2dt’^2+d\mathbf{x}’^2\quad\cdots\,\)(14)
世界線の長さは\(\,\int\sqrt{-ds^2}\,\)として定義出来る。パラメータとして慣性系\(\,S\,\)の時間座標\(\,t\,\)そのものを選ぶことが出来る。
\(\quad\displaystyle\int\sqrt{-ds^2}=c\displaystyle\int dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=c\displaystyle\int d\tau\quad\cdots\,\)(15)
ここで時間定数\(\,\tau\,\)を定義する。固有時 (proper time )。
\(\quad d\tau=dt\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\right|^2}=dt’\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}\left|\dfrac{d\mathbf{x}’}{dt’}\right|^2}\quad\cdots\,\)(16)
式(15)は世界線に沿っての固有時間の長さを距離の単位で与える。これは、質点の軌道の形そのものによって定まる量なので、ローレンツ変換で不変である。
2-2. ４元速度
時間\(\,t\,\)を加えた４次元で固有時間に対する速度を考える。
\(\quad u_t=\dfrac{dct}{d\tau}\,,\,u_x=\dfrac{dx}{d\tau}\,,\,u_y=\dfrac{dy}{d\tau}\,,\,u_z=\dfrac{dz}{d\tau}\quad\cdots\,\)(17)
ここで、速度の大きさを考える場合、世界距離の計算と同様に時間成分の２乗はマイナスとなる。大きさを計算(内積をとる)する。
\(\quad-u_t^2+u_x^2+u_y^2+u_z^2=\dfrac{1}{d\tau^2}(-dct^2+dx^2+dy^2+dz^2)\)
\(\qquad =\dfrac{1}{d\tau^2}(-c^2d\tau^2)=-c^2\quad\cdots\,\)(18)
となり、４元速度の大きさは一定値になってしまう。
ここで、四元速度の表記を以下のようにする。
\(\quad u^{\mu}\equiv\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}\quad\cdots\,\)(19)
なお、\(u^0=u_t\,,\,u^1=u_x\,,\,u^2=u_y\,,\,u^3=u_z\,\)である。
式(16)、(17)より
\(\quad u^{\mu}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\dfrac{dx^{\mu}}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}v^{\mu}\quad\cdots\,\)(20)
また、
\(\quad u^0=c\dfrac{dt}{d\tau}=\gamma\dfrac{cdt}{dt}=c\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,\)(21)
2-3. ４元運動量
４元速度を用いて４元運動量を\(\,m\,\)を静止質量として以下のように定義する。
\(\quad p^{\mu}=m\,u^{\mu}=m\gamma v^{\mu}\quad\cdots\,\)(22)
これにより、\(p^0\,\)は
\(\quad p^0=mu^0=mc\gamma=\dfrac{mc}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\cdots\,\)(23)
ここで、前準備の式(10)より
\(\quad\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1+\dfrac{1}{2}\beta^2+\dfrac{3}{8}\beta^4+\dfrac{5}{16}\beta^6+\cdots\quad\cdots\,\)(24)
\(\,\beta=v/c\,\)なので、式(23)と(24)より
\(\quad p^0=mc+\dfrac{mc}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3mc}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+\cdots\quad\cdots\,\)(25)
ここで、\(v/c\to 0\,\)の低速において、式(25)の両辺に光速\(\,c\,\)をかけると
\(\quad p^0c=mc^2+\dfrac{1}{2}mv^2+\cdots\qquad\cdots\,\)(26)
\(\,p^0c\,\)は質点のエネルギーを表しており、運動エネルギーと
静止エネルギー\(\,mc^2\,\)の和として表される。
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