\(\def\bm{\boldsymbol}\)\(\def\mb{\mathbf}\)\(\def\di{\displaystyle}\)\(\def\ve{\varepsilon_0}\)\(\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\)\(\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}\)
音速を流体力学的に導出する。中央大学 棚橋先生の「流体力学」を参考させてもらいました。
1．音波
Wikipediaでは、「気体、液体、固体を問わず、弾性体を伝播するあらゆる弾性波の総称をさす。」となっている。流体として考えると、密度の変化が音速で伝わっていくものということになる。密度が上がると圧力が上がるが、そのために生じる圧力勾配力は流体の圧力を下げる向きにかかるため、密度の値をもとの値に戻そうとする復元力としての役割を果たす。この復元力のために流体の振動が発生するが、これが空間的に伝わっていくのが音波の伝搬である。
1-1: モデル化
\(x\,\)軸方向に伝搬する平面波の音波について考える。全体の密度は\(\,\rho_0\,\)一定とする。ここで、密度が微小に変化した場合を考える。
\(\quad \rho(t,x)=\rho_0+\delta\rho(t,x)\)
\(\qquad\,\,|\delta\rho(t,x)|\ll\rho_0\qquad\cdots\,\)(1)
微小の密度(圧力)変化に対応して、速度場も微小に変化する。音波がない場合は流体は静止しているので、静止速度場はゼロである。
\(\qquad\bm{v}(t,x)=v_0+\delta v(t,x)=\delta v(t,x)\qquad\cdots\,\)(2)
微小圧力変化\(\,\delta\rho(t,x)\,\)とそれに対応する流体の平衡位置からのズレが\(\,\delta v(t,x)\,\)である。
状態方程式を\(\,P=P(\rho)\,\)とする。
1-2: 運動方程式
流体力学の連続の式(質量保存則)とオイラー方程式(粘性を含まない運動量保存則)を適用する。
・連続の式
\(\qquad\pdr{\rho}{t}+\nabla\cdot(\rho\bm{v})=0\qquad\cdots\,\)(3)
\(\qquad\pdr{\rho}{t}+\nabla\cdot(\rho\bm{v})=\pdr{}{t}(\rho_0+\delta\rho)+\nabla\cdot[(\rho_0+\delta\rho)\delta\bm{v}]\)
\(\qquad\quad=\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\nabla\cdot\delta\bm{v}+\nabla\cdot(\delta\rho\delta\bm{v})\simeq\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\pdr{\delta v}{x}=0\qquad\cdots\,\)(4)
\(\qquad\quad\delta\rho\delta\bm{v}\,\)項は2次の微少量のため無視した。\(\quad(\quad\because\quad\delta\rho\ll\rho_0\quad)\)
・オイラー方程式
\(\qquad\pdr{\bm{v}}{t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}=-\dfrac{1}{\rho}\nabla P\qquad\cdots\,\)(5)
まず 左辺は\(\quad\pdr{\delta\bm{v}}{t}+(\delta\bm{v}\cdot\nabla)\delta\bm{v}=\pdr{\delta v}{t}+\pdr{\delta\bm{v}}{x}\delta\bm{v}\sim\pdr{\delta v}{t}\qquad\cdots\,\)(6)
ここで\(\,\partial\bm{v}/\partial t \delta\bm{v}\,\)は2次の微少量なので無視した。
右辺は\(\quad-\dfrac{1}{\rho}\nabla P(\rho)=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{dP}{d\rho}\nabla\rho=-\dfrac{1}{\rho_0+\delta\rho}\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0+\delta\rho}\nabla(\rho_0+\delta\rho)\qquad\cdots\,\)(7)
ここで各項目の計算をまとめる。
\(\qquad\bullet\quad\dfrac{1}{\rho_0+\delta\rho}=\dfrac{1}{\rho_0}\left\{1-\dfrac{\delta\rho}{\rho_0}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\delta\rho}{\rho_0}\right)^2-\cdots\right\}\quad\simeq\quad\dfrac{1}{\rho_0}\)
\(\qquad\bullet\quad\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0+\delta\rho}\sim\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0}+\left.\dfrac{d^2P}{d\rho^2}\right|_{\rho_0}\delta\rho\quad\simeq\quad\left.\dfrac{dP}{d\rho}\right|_{\rho_0}\)
\(\qquad\bullet\quad\nabla(\rho_0+\delta\rho)\quad\simeq\quad\nabla\delta\rho\qquad(\quad\because\quad\rho_0\sim const.\quad)\)
\(\quad\pdr{\delta v}{t}\,\simeq\,-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\nabla\delta\rho=-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}\qquad\cdots\,\)(8)
\(\blacklozenge\,\,\,\)ここで、(4)式と(8)式を再掲する。
\(\quad\left\{\begin{array}{lr}\pdr{\delta\rho}{t}+\rho_0\pdr{\delta v}{x}=0&\cdots\,\mathrm{(4)}\\
\pdr{\delta v}{t}=-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}&\cdots\,\mathrm{(8)}\end{array}\right.\)
\(\quad\)ここで、(4)式を時間微分する。
\(\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{t}\pdr{\delta v}{x}=\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{x}\pdr{\delta v}{t}=0\qquad\cdots\,\)(9)
\(\quad\)(9)式に(8)式を代入する。
\(\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}+\rho_0\pdr{}{x}\left(-\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{dP}{d\rho}\pdr{\delta\rho}{x}\right)=\ppdr{\delta\rho}{t^2}-\dfrac{dP}{d\rho}\ppdr{\delta\rho}{x^2}=0\qquad\cdots\,\)(10)
ここで\(\quad\dfrac{dP}{d\rho}=c^2\quad\)とおくと、式(10)は次のようになる。
\(\qquad\ppdr{\delta\rho}{t^2}=c^2\ppdr{\delta\rho}{x^2}\qquad\cdots\,\)(11)
速度\(\,c\,\)の進行波となる。\(\qquad c=\sqrt{\dfrac{dP}{d\rho}}\)
1-3: 圧縮率で音速を表す
圧縮率\(\,\kappa\,\)とは系にかかる圧力に対して、系の体積がどの程度変化するかを表す状態量であり、以下の式で表される。
\(\qquad\kappa=-\dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dP}\qquad\cdots\,\)(12)\(\hspace{20mm}\)【参考】：個体弾性率\(\,\,\, K=-V\dfrac{dP}{dV}\qquad\)
音速の二乗は
\(\quad c^2=\dfrac{dP}{d\rho}=\dfrac{dV}{d\rho}\dfrac{dP}{dV}\quad\cdots\,\)(13)
ここで\(\quad V=\dfrac{M}{\rho}\quad\)なので、\(\quad \dfrac{dV}{d\rho}=\dfrac{d}{d\rho}\dfrac{M}{\rho}=-\dfrac{M}{\rho^2}=-\dfrac{V^2}{M}\qquad\)これを式(13)に代入すると
\(\qquad\dfrac{dP}{d\rho}=-\dfrac{V^2}{M}\dfrac{dP}{dV}=-\dfrac{V}{\rho}\dfrac{dP}{dV}=\dfrac{1}{\kappa\rho}\qquad\cdots\,\)(14)
よって音速は
\(\qquad c=\sqrt{\dfrac{1}{\kappa\rho}}\qquad\cdots\,\)(15)
1-4: 気体の音速
理想気体で考える。理想気体の状態方程式は、\(\mu\,\)を\(1\)モルの質量として、
\(\qquad P=RT\dfrac{n}{V}=RT\dfrac{M/V}{M/n}=RT\dfrac{\rho}{\mu}\qquad\cdots\,\)(20)
圧力\(\,P\,\)の全微分は
\(\qquad dP=\left(\pdr{P}{T}\right)_{\rho}dT+\left(\pdr{P}{\rho}\right)_Td\rho\qquad\cdots\,\)(21)
\(\qquad\left(\pdr{P}{T}\right)_{\rho}=\dfrac{R\rho}{\mu}=\dfrac{P}{T}\quad,\qquad\left(\pdr{P}{\rho}\right)_T=\dfrac{RT}{\mu}=\dfrac{P}{\mu}\)
これらを式(12)に代入すると
\(\qquad dP=\dfrac{P}{T}dT+\dfrac{P}{\rho}d\rho\qquad\Longrightarrow\quad \dfrac{dP}{P}-\dfrac{d\rho}{\rho}=\dfrac{dT}{T}\qquad\cdots\,\)(22)
\(\blacklozenge\,\,\,\)気体の内部エネルギー\(\,U\,\)は定積比熱より求められる。
\(\qquad dU=C_vdT\qquad\)・単原子分子：\(\,C_v=\dfrac{3}{2}R\qquad\)二原子分子：\(\,C_v=\dfrac{5}{2}R\qquad\cdots\,\)(23)
熱力学の第一法則に」より
\(\qquad dU=-PdV+dQ’\qquad\cdots\,\)(24)
音の振動は断熱的なので\(\,dQ’\,\)をゼロとすると
\(\qquad dU=-PdV=-Pd\dfrac{\mu}{\rho}=P\mu\dfrac{d\rho}{\rho^2}=RT\dfrac{\rho}{\mu}\mu\dfrac{d\rho}{\rho^2}=RT\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,\)(25)
\(\blacklozenge\,\,\,\)２原子分子を考え、式(23)と式(25)の係数を比較すると、以下の関係が導かれる。
\(\qquad\dfrac{5}{2}\dfrac{dT}{T}=\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,\)(26)
式(26)と式(22)から
\(\qquad\dfrac{dT}{T}=\dfrac{2}{5}\dfrac{d\rho}{\rho}=\dfrac{dP}{P}-\dfrac{d\rho}{\rho}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{dP}{P}=\dfrac{7}{5}\dfrac{d\rho}{\rho}\qquad\cdots\,\)(27)
音速は式(27)と式(20)より
\(\qquad c=\sqrt{\dfrac{dP}{d\rho}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{P}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{RT}{\mu}}\qquad\cdots\,\)(28)
\(\blacklozenge\,\,\,\)空気( 平均分子量:29 温度:0℃ )で計算してみると
\(\qquad\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{RT}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}\dfrac{8.314\times\,273}{29.0\times 10^{-3}}}\simeq 331.0\,\,\)m/s
おおよそ再現出来ている。
◆ 参考資料
- 流体力学 講義ノート 第9回 流体の波動
：https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~norihiro.tanahashi/pdf/hydrodynamics/note_hydrodynamics_9.pdf