\(\def\bm{\boldsymbol}\)\(\def\di{\displaystyle}\)\(\def\ve{\varepsilon}\)\(\def\vd{\varDelta}\)\(\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\)\(\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}\)
1.クーロンの法則
電荷\(\,q\,\)と\(\,Q\,\)を持つ2個の点電荷の間の距離を\(\,R\,\),それらの間に作用する力の大きさを\(\,F\,\)と書くと
\(F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\cdot Q}{R^2}\qquad\cdots\,\)(1)
点電荷\(\,q\,\)の位置ベクトルを\(\,\bm{z}_0\,\)、\(Q\,\)を\(\,\bm{z}\,\)とすると
\(R=|\bm{z}_0-\bm{z}|\,\)なので、電荷\(\,Q\,\)が点電荷\(\,q\,\)に作用する力は
\(F(\bm{z}_0)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q(\bm{z}_0-\bm{z})}{|\bm{z}_0-\bm{z}|^3}\qquad\cdots\,\)(2)
次に、\(n\,\)個の点電荷\(\,Q_1,Q_2,\cdots,Q_n\,\)がそれぞれ\(\,\bm{z}_1,\bm{z}_2,\cdots,\bm{z}_n\,\)
の位置にあるとき、これらが点電荷\(\,q\,\)に作用する力は、
それぞれの点電荷が作用する力のベクトルの和で与えられる。
\(\bm{F}(\bm{z}_0)=\dfrac{q}{4\pi\ve_0}\cdot\di\sum_{i=1}^n\dfrac{Q_i(\bm{z}_0-\bm{z}_i)}{|\bm{z}_0-\bm{z}_i|^3}\qquad\cdots\,\)(3)
これがオリジナルのクーロンの法則であるが、\(q\,\)がゼロの場合、力が働かない事になる。
マックスウェルは近接作用である場の概念を導入し、電場というものを考えた。
これは、電荷がその周りに電場を作り、その電場に電荷が置かれると力が働くと言うことである
つまり、電場\(\,\bm{E}\,\)(ベクトル量を導入すると (2)式は以下のように分割される。
\(\bm{F}(\bm{z}_0)=q\bm{E}(\bm{x}=\bm{z}_0)\quad\cdots\,\)(4)\(\qquad\bm{E}(\bm{x})=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0}\dfrac{\bm{x}-\bm{z}}{|\bm{x}-\bm{z}|^3}\quad\cdots\,\)(5)
2.ガウスの法則
(1) 積分形
点電荷\(\,Q\,\)が閉曲面\(\,S\,\)に囲まれている。
閉曲面\(\,S\,\)上にとった微小曲面\(\,dS\,\)とその上の電磁場\(\,\bm{E}(\bm{x})\,\)を考える。
\(\,dS\,\)に立てた単位法線ベクトルを\(\,\bm{n}(\bm{x})\,\)とすると、
\(\bm{E}(\bm{x})\,\)の\(\,\bm{n}(\bm{x})\,\)方向の成分は
\(\bm{E}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0R^2}\cos\theta\qquad\cdots\,\)(6)
ここで\(\,R\,\)は点電荷\(\,Q\,\)から微小面\(\,dS\,\)までの距離であり、\(\theta\,\)は\(\,\bm{E}(\bm{x})\,\)と\(\,\bm{n}(\bm{x})\,\)
とのなす角である。微小面\(\,dS\,\)を点電荷\(\,Q\,\)からみた立体角\(\,d\Omega\,\)は
\(\dfrac{dS\cos\theta}{d\Omega}=\dfrac{R^2}{1^2}\quad\)より\(\quad d\Omega=\dfrac{\cos\theta\,dS}{R^2}\qquad\cdots\,\)(7)
で与えられる。これを 式(6)に代入すると\(\quad\bm{E}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})\,dS=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0R^2}\cos\theta\,dS=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0}d\Omega\)
これを閉曲面\(\,S\,\)上にわたって面積分すると
\(\di\int_S\bm{E}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})\,dS=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0}\di\int d\Omega=\dfrac{Q}{4\pi\ve_0}\cdot 4\pi=\dfrac{Q}{\ve_0}\qquad\cdots\,\)(8)
点電荷が閉曲面の外側にある場合、\(Q\,\)からみた同一立体角内に二つの相対する微小曲面\(\,dS\,,\,dS’\,\)があることになる。
閉曲面の分割は任意であるから\(\,dS\ne dS’\,\)でよいが、\(Q\,\)からみた立体角\(\,d\Omega\,\)が同じなので、相殺される。
\(S\,\)内に、点電荷\(\,Q_1,Q_2,\cdots,Q_n\,\)がある場合、全体の電場\(\,\bm{E}(\bm{x})\,\)の面積分は、
含まれる点電荷の和を\(\,\varepsilon_0\,\)で割ったものになる。
\(\di\int_S\bm{E}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})\,dS=\dfrac{1}{\ve_0}(Q_1+Q_2+\cdots+Q_n)\qquad\cdots\,\)(9)
これを積分型のガウスの法則という。
(2) 微分形
体積が\(\,\varDelta^3x\equiv\varDelta x\varDelta y\varDelta x\,\)である立方体の箱を考え
この箱の中に正電荷があるとする。この電荷が作る電場は箱の
中から外向きに出ている。そこで、箱の表面\(\,S\,\)上の面積分を考える。
まず、\(x\,\)軸に直交する二つの面 A と B を考える。A 面上では
\(\di\int_A\bm{E}\cdot\bm{n}\,dS=E_x(x+\varDelta x,y,z)\varDelta y\varDelta z\)
ここで変数\(\,y\,,\,z\,\)では2次以上の微少量を無視している。B 面上では
\(\di\int_A\bm{E}\cdot\bm{n}\,dS=-E_x(x,y,z)\varDelta y\varDelta z\)
ここで負号がつくのは、B面上に立てた単位法線ベクトル\(\,\bm{n}\,\)の方向が\(\,x\,\)軸の負の
方向を向いているからである。これらを加え合わせると
\(\di\int_{A+B}\bm{E}\cdot\bm{n}\,dS=\dfrac{E_x(x+\varDelta x,y,z)-E_x(x,y,z)}{\varDelta x}\cdot\varDelta x\varDelta y\varDelta z=\pdr{E_x(\bm(x)}{x}\varDelta^3 x\)
となる。\(y\,\)軸と\(\,z\,\)軸に垂直な面についても同様の計算をし、これらを加えると
\(\di\int_S\bm{E}\cdot\bm{n}\,dS=\left(\pdr{E_x(\bm{x})}{x}+\pdr{E_y(\bm{x})}{y}+\pdr{E_z(\bm{x})}{z}\right)\varDelta^3x\qquad\cdots\,\)(10)
ここで\(\,\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})\,\)という量を定義する。
\(\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})=\di\lim_{\varDelta^3x\to 0}\dfrac{1}{\varDelta^3 x}\di\int_S\bm{E}\cdot\bm{n}\,dS\qquad\cdots\,\)(11) より
\(\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})=\pdr{E_x(\bm{x})}{x}+\pdr{E_y(\bm{x})}{y}+\pdr{E_z(\bm{x})}{z}\qquad\cdots\,\)(12)
これをベクトル\(\,\bm{E}(\bm{x})\,\)の 発散 (divergence) という。
ここで、閉曲面\(\,S\,\)によって囲まれる空間の体積を\(\,V\,\)とすると、ガウスの定理より
\(\di\int_S\bm{E}(\bm{x})\cdot\bm{n}\,dS=\di\int_V\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})\,d^3x\qquad\cdots\,\)(13)
ここで、式(9)の左辺は式(13)のように変形されるから、式(9)は
\(\di\int_V\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})\,d^3x=\dfrac{1}{\ve_0}\di\int_V\rho(\bm{x})d^3x\quad\)となる。
ここで積分領域\(\,V\,\)を任意の点\(\,\bm{x}\,\)の周りの微小領域\(\,\varDelta^3x\,\)にとれば
\(\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})\varDelta^3x=\rho(\bm{x})\varDelta^3x/\ve_0\,\)となり、任意の場所で
\(\mathrm{div}\,\bm{E}(\bm{x})=\dfrac{1}{\ve_0}\rho(\bm{x})\qquad\cdots\,\)(14)
これを微分形のガウスの法則という。
3.静電ポテンシャル
(1) ストークスの定理
任意のベクトル場を考えたとき、以下の式が成立するのがストークスの定理
\(\di\int_C\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}=\di\int_S\mathrm{rot}\,\bm{X}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})\,dS\qquad\cdots\,\)(15)
左辺の線積分は図のような任意の閉曲線\(\,C\,\)について、
図のような方向への1周にわたる積分であり、右辺の積分は
閉曲線\(\,C\,\)によって囲まれた任意の曲面\(\,S\,\)上での面積分である。
また、\(\mathrm{rot}\,\bm{X}(\bm{x})\,\)とは、その成分が
\(\mathrm{rot}\,\bm{X}(\bm{x})\equiv\left(\pdr{X_z}{y}-\pdr{X_y}{z},\,\pdr{X_x}{z}-\pdr{X_z}{x},\,\pdr{X_y}{x}-\pdr{X_x}{y}\right)\quad\cdots\,\)(16)
ここで、まず2次元で閉曲面\(\,C’\,\)を考える。\(\bm{X}(\bm{x})\,\)を\(\,\bm{Y}(x,y)\,\)と書き換える。
すると線積分は、2次以上の微少量を無視すると
\(\di\int_{C’}\bm{Y}(x,y)\cdot d\bm{x}=Y_x(x,y)\varDelta x+Y_y(x+\vd,y)\vd y+Y_y(x,y)(-\vd y)+Y_x(x,y+\vd y)(-\vd x)\)
\(\hspace{30mm}=\left(\pdr{Y_y(x,y)}{x}-\pdr{Y_x(x,y)}{y}\right)\vd x\vd y\)
\(\hspace{30mm}=(\mathrm{rot}\,\bm{Y}(x,y))_z\vd x\vd y\qquad\cdots\,\)(17)
式(17)より
\(\left(\pdr{Y_y(x,y)}{x}-\pdr{Y_x(x,y)}{y}\right)=\dfrac{1}{\vd x\vd y}\di\int_{C’}\bm{Y}(x,y)\cdot d\bm{x}\)
このような線積分を各微小長方形に分割して行う。隣り合わせの線積分の方向が反対向きなので
打ち消し合うことになる。最終的に隣り合う相手のいない周辺上の線積分だけが残るので、
\(\di\int_{C’}\bm{Y}(x,y)\cdot d\bm{x}=\di\sum_i(\mathrm{tot}\,\bm{Y}(x_i,y_i))_z\vd x_i\vd y_i\)
\(\hspace{32mm}=\di\int_{S’}(\mathrm{rot}\,\bm{Y}(x,y))_zdS’\qquad\cdots\,\)(18)
これが2次元のストークスの定理である。
この定理から\(\,\mathrm{rot}\,\bm{X}_x(\bm{x})=0\,\)のとき、以下の式がなりたつ。
\(quad\di\int_C\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}=0\qquad\cdots\,\)(19)
閉曲線\(\,C\,\)の周りの1周の線積分を図のように
P点から出発してQ点にいたる2つの曲線\(\,C_1\,\)と\(\,C_2\,\)上の線積分に分解すると
\(\di\int_{\mathrm{P},C_1}^{\mathrm{Q}}\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}+\di\int_{\mathrm{Q},C_2}^{\mathrm{P}}\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}\)
\(\hspace{10mm}=\di\int_{\mathrm{P},C_1}^{\mathrm{Q}}\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}-\di\int_{\mathrm{P},C_2}^{\mathrm{Q}}\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}=0\)
従って、点Pから点Qまでの線積分
\(\quad\di\int_{\mathrm{P}}^{\mathrm{Q}}\bm{X}(\bm{x})\cdot d\bm{x}\qquad\cdots\,\)(20)\(\qquad\)は途中の道筋によらず一定の値を取る。
すなわち、2点間の線積分が途中の道筋によらず一定の値を取るための必要かつ十分な条件は
\(\quad\mathrm{rot}\,\bm{X}(\bm{x})=0\quad\cdots\,\)(21)\(\quad\)が成立することである。
(2) 静電ポテンシャル
静電場が式(21)を満たすか、検証する。
まず、単位体積中の電荷量、つまり電荷密度を\(\,\rho(\bm{x}_i)\,\)とすると、電場\(\,\bm{E}(\bm{x})\,\)は
\(\bm{E}(\bm{x})=\dfrac{1}{4\pi\ve}\di\int_{-\infty}^{\infty}d^3x’\dfrac{(\bm{x}-\bm{x}’)\rho(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}\qquad\cdots\,\)(22)
ここで、まず次の微分の計算をする。
\(\pdr{}{x}\dfrac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|^n}=-n\dfrac{x-x’}{|\bm{x}-\bm{x}’|^{n+2}}\qquad\cdots\,\)(23)
次に\(\,\mathrm{rot}\,\bm{E}(\bm{x})\,\)の\(\,x\,\)成分を計算する。式(22) から、
\(\pdr{E_x(\bm{x})}{y}-\pdr{E_y(\bm{x})}{x}\)
\(\hspace{10mm}=\dfrac{1}{4\pi\ve_0}\di\int_{-\infty}^{\infty}d^3x’\rho(\bm{x}’)\left[(z-z’)\pdr{}{y}\dfrac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}-(y-y’)\pdr{}{x}\dfrac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}\right]\)
\(\hspace{10mm}=-\dfrac{3}{4\pi\ve_0}\di\int_{-\infty}^{\infty}d^3x’\rho(\bm{x}’)\left[\dfrac{(z-z’)(y-y’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}-\dfrac{(y-y’)(z-z’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}\right]=0\qquad\cdots\,\)(24)
\(y\,\)成分、\(z\,\)成分についても同様である。よって静電場において\(\quad\mathrm{rot}\,\bm{E}(\bm{x})=0\qquad\cdots\,\)(25)\(\quad\)が成り立つ。
式(14)と式(25)を満たしている静電場\(\quad\bm{E}(\bm{x})\,\)は、ポテンシャル関数\(\,\phi(\bm{x})\,\)の勾配(gradient)で表す事が出来る。
\(\bm{E}(\bm{x})=-\mathrm{grad}\,\phi(\bm{x})\qquad\cdots\,\)(26)
この関数\(\,\phi(\bm{x})\,\)を 静電ポテンシャル という。
式(22)と(23)から、以下の式が得られる。
\(\bm{E}(\bm{x})=-\dfrac{1}{4\pi\ve_0}\,\mathrm{grad}_x\di\int_{-\infty}^{\infty}d^3x’\dfrac{\rho(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\qquad\cdots\,\)(27)
ここで、\(\mathrm{grad}_x\,\)は変数\(\,x,y,z\,\)による微分を取ることを意味する。
式(26)と式(27)から
\(\phi(\bm{x})=\dfrac{1}{4\pi\ve_0}\di\int_{-\infty}^{\infty}d^3x’\dfrac{\rho(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\qquad\cdots\,\)(28)
が成り立つ。
\(\star\,\)ガウスの法則より、電場の発散は式(14)から\(\quad\nabla\cdot\bm{E}(\bm{x})=\rho(\bm{x})/\ve_0\qquad\cdots\,\)(29)\(\quad\)となる。
4.電荷のテスト
参考資料
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib # 日本語表示用
#グラフ範囲を指定
LX, LY = 2.2, 2.2
# ベクトル場のベクトルの間隔の変数を gw とする
gw = 0.05
nn=int(2*LX/gw) # 本数
coords,ds = np.linspace(-LX,LX,nn,retstep=True) # 座標と刻み幅の等差数列
# k = 4Πε0
k = 1.
x, y= np.meshgrid(coords, coords) # x,y メッシュグリッド作成
# 点電荷の座標 (x1,y1), 電荷 q1
x_1,y_1,q_1 = -1.1, 0.2, 1
# (x1,y1) にある電荷から、点 (x,y) までの距離
r_1=np.sqrt((x-x_1)**2+(y-y_1)**2)
# 点電荷の座標 (x2,y2), 電荷 q2
x_2,y_2,q_2 = 1, -0.9, -1
# (x2,y2) にある電荷から、点 (x,y) までの距離
r_2=np.sqrt((x-x_2)**2+(y-y_2)**2)
# 静電ポテンシャル phi は
phi=1/k*(q_1/r_1+q_2/r_2)
# 電場ベクトル Ex , Ey
E_y,E_x =np.gradient(phi, ds)
# x,yの描画範囲の設定
fig=plt.figure()
plt.xlim([-LX,LX])
plt.ylim([-LY,LY])
# グラフ描画
plt.grid()
plt.plot(x_1,y_1,'o',color='b')
plt.text(x_1+0.1,y_1+0.1,r'$q_1=+1$',color='b')
plt.plot(x_2,y_2,'o',color='r')
plt.text(x_2+0.1,y_2+0.1,r'$q_2=-1$',color='r')
# 電場ベクトルをプロット (+) から (-) に向くようにベクトルの向きを反対に
plt.streamplot(x,y,-E_x,-E_y,linewidth=0.3)
# タイトル
plt.text(x_1-0.2,1.5,"電場ベクトル表示",fontsize=25,color='m')
# ファイル保存
fig.savefig("electric_field.png")
plt.show()
# 電荷密度の計算
div_E=E_x-E_y
# 電荷密度の等高線をプロット
# x,yの描画範囲の設定
fig, ax = plt.subplots()
plt.xlim([-LX,LX])
plt.ylim([-LY,LY])
# グラフ描画
plt.grid()
#plt.plot(x_1,y_1,'o',color='b')
plt.text(x_1+0.1,y_1+0.1,r'$q_1=+1$',color='b')
#plt.plot(x_2,y_2,'o',color='r')
plt.text(x_2+0.1,y_2+0.1,r'$q_2=-1$',color='r')
# 電荷分布
CS = ax.contourf(x, y, div_E)
#fig.colorbar(CS)
# タイトル
plt.text(x_1,1.5,"電荷密度分布",fontsize=25,color='m')
# ファイル保存
fig.savefig("charge_distribution-2.png")
plt.show()