\(\def\bm{\boldsymbol}\)\(\def\di{\displaystyle}\)\(\def\ve{\varepsilon_0}\)\(\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\)\(\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}\)
1.準備
1.1.極座標における速度、加速度
二次元での極座標の扱いは\(\qquad x=r\cos\theta\qquad y=r\sin\theta\qquad\cdots\,\)(1)
座標の回転では、点\(\,(x,y)\,\)を原点中心に\(\,\theta\,\)だけ回転させて、\((X,Y)\,\)となったとすると
\(\quad\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\,\cos\theta\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)\qquad\cdots\,\)(2)
のように表す事が出来る。
速度は、\(x\,,\,y\,\)を時間微分することで求められる。
極座標では\(\quad\dot{x}=\dot{r}\cos\theta-r\theta\sin\theta\qquad \dot{y}=\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta\quad\)なので
\(\quad\left(\begin{matrix}\dot{x}\\ \dot{y}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\,\cos\theta\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\dot{r}\\ r\dot{\theta}\end{matrix}\right)\quad\cdots\,\)(3)
のように表す事が出来る。変換行列は回転と同じものである。
加速度は速度の(3)式をさらに時間微分する。\(\ddot{x}\,\)と\(\,\ddot{y}\,\)は
\(\quad\ddot{x}=\ddot{r}\cos\theta-\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta\)
\(\hspace{7mm}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\cos\theta-(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\sin\theta\quad\cdots\,\)(4)
\(\quad\ddot{y}=\ddot{r}\sin\theta+\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta+\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}\dot{\theta}\sin\theta\)
\(\hspace{7mm}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\sin\theta+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\cos\theta\quad\cdots\,\)(5)
これを行列で表すと
\(\quad\left(\begin{matrix}\ddot{x}\\ \ddot{y}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\,\cos\theta\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\end{matrix}\right)\quad\cdots\,\)(6)
1.2.運動方程式
\(x\,,\,y\,\)座標での運動方程式は、\(F_x=m\ddot{x}\,\)になる。
極座標では(6)式から、\(r\,\)方向の加速度が\(\,\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\,\,\)となることから、
\(\quad F_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\qquad\cdots\,\)(7)
となる。同じく\(\,\theta\,\)方向では加速度が\(\,r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\,\,\)であるので、
\(\quad F_{\theta}=m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\qquad\cdots\,\)(8)
となる。
2.ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）
\(\hspace{40mm}\)
ケプラーの法則は（先に、第1法則および第2法則が発見されて1609年に発表され、後に第3法則が発見されて1619年に発表された）は、ティコ・ブラーエの観測記録から、太陽に対する火星の運動を推定し、3つの法則として定式化した。
第2法則は惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に掃く面積（面積速度度）は、一定であるというものである。
2.1 導出
運動方程式で\(\,\theta\,\)方向は(8)式から、\(F_{\theta}=m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\,\)となるが、
\(\quad\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=r^2\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}=r(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\quad\) となるので
\(\quad F_{\theta}=m\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)\quad\cdots\,\)(9)
と表す事が出来る。
2.2 角運動量保存
角運動量は運動量\(\,\bm{p}\,\)と位置ベクトル\(\,\bm{x}\,\)を使って以下のように表わすことが出来る
\(\quad\bm{p}\times\bm{x}=\bm{L}\qquad\cdots\,\)(10)
ここで単位質量当たりの角運動量\(\,\bm{k}\,\)を考える。
\(\quad\bm{k}=\dot{\bm{x}}\times\bm{x}\hspace{10mm}\cdots\hspace{30mm}\)これを時間微分すると
\(\quad\dfrac{d\bm{k}}{dt}=\ddot{\bm{x}}\times\bm{x}+\dot{\bm{x}}\times\dot{\bm{x}}\quad\cdots\,\)(11)
(11)式の右辺の第二項は、同じベクトルの外積なので\(\,0\,\)となる。第一項も中心力での加速度は位置ベクトルと平行なので\(\,0\,\)になる。
よって、単位角運動量\(\,\bm{k}\,\)の時間微分は\(\,0\,\)になるので、定数ベクトルとなる。この単位角運動量に質量\(\,m\,\)を乗じた\(\,\bm{L}\,\)も定数となるので、角運動量は保存される。
2.3 面積速度
極座標における面積速度は、単位時間に\(\bm{r}\,\)と\(\,r\theta\,\)によって作られる三角形の面積となる。(9)式からも、中心力では角度成分への力はないので、\(F_{\theta}=0\,\)となる。
時間\(\,t\,\)で積分すると、\(\quad r^2\dot{\theta}=h\qquad h\,\)：積分定数\(\quad\cdots\,\)(12)
が導かれる。（\(\,h\,\)は時間項を含まないので定数となる）
3.ケプラーの第1法則（楕円軌道の法則）
惑星は、太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を動く。太陽の位置を原点に取り、太陽と惑星の距離を\(\,r\) 、 真近点角を\(\,\theta\,\)をパラメータとする極座標では、惑星の軌道は次の式で与えられる。
\(\quad r=\dfrac{p}{1+\ve\,\cos\theta}\qquad\cdots\,\)(13)
\(\hspace{47mm}\)
ここで、 \(p\,\)は半通径(semi-latus rectum)、\(\ve\,\)は楕円の離心率である。ただし\(\,0\,\ge\,\ve\,>\,1\,\)であり、\(\ve\,=0\,\)のとき、太陽中心の円軌道を表す。
3.1 導出
3.1.1 step-1
惑星の質量を\(\,m\,\)、太陽の質量を\(\,M\,\)、万有引力定数を\(\,G\,\)とすると、惑星の運動方程式は
\(\quad F_r=m\ddot{\bm{x}}=-GMm\dfrac{\bm{x}}{|\bm{x}|^3}\qquad\cdots\,\)(15)
これを極座標で表すと、(9)式から
\(\quad m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\dfrac{GMm}{r^2}\qquad\cdots\,\)(16)
この式に (12)式を代入すると
\(\quad m\ddot{r}-\dfrac{mh^2}{r^3}=-\dfrac{GMm}{r^2}\hspace{15mm}\)両辺を\(\,m\,\)で割ると
\(\quad\ddot{r}-\dfrac{h^2}{r^3}=-\dfrac{GM}{r^2}\qquad\cdots\,\)(17)
3.1.2 step-2
(14)式と合成関数の微分より
\(\quad\dot{r}=\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{dr}{d\theta}=\dot{\theta}\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{h}{r^2}\dfrac{dr}{d\theta}\qquad\cdots\,\)(18)
ここで\(\,p=\dfrac{1}{r}\,\)という変数を導入する。これを\(\,\theta\,\)で微分すると
\(\quad\dfrac{dp}{d\theta}=-\dfrac{1}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r}\right)=\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{1}{r^2}\qquad\cdots\,\)(19)
この(19)式を(18)式に代入すると、以下の式が得られる
\(\quad\dot{r}=-h\dfrac{dp}{d\theta}\qquad\cdots\,\)(20)
さらに時間微分すると
\(\quad\ddot{r}=-h\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dp}{d\theta}\right)=-h\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{dp}{d\theta}\right)=-h\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d^2p}{d\theta^2}\)
\(\hspace{9mm}=-h\,\dot{\theta}\,\dfrac{d^2p}{d\theta^2}=-h\dfrac{h}{r^2}\dfrac{d^2p}{d\theta^2}\qquad\because\quad r^2\dot{\theta}=h\)
\(\hspace{9mm}=-\dfrac{h^2}{r^2}\dfrac{d^2p}{d\theta^2}\qquad\cdots\,\)(21)
この(21)式を(17)式に代入すると
\(\quad-\dfrac{h^2}{r^2}\dfrac{d^2p}{d\theta^2}-\dfrac{h^2}{r^3}=-\dfrac{GM}{r^2}\qquad\cdots\,\)(22)
整理すると
\(\quad\dfrac{d^2p}{d\theta^2}=-p+K\hspace{15mm}\)ここで\(\quad \dfrac{GM}{h^2}=K\quad\)と置いた。
このような振動方程式の一般解は
\(\quad p=A\cos(\theta+B)+K\qquad\Longrightarrow\quad r=\dfrac{1}{A\cos(\theta+B)+K}\qquad\cdots\,\)(23)
ここで長軸を\(\,y\,\)軸に取り、\(\,B=0\,\)、\(A/K=\ve\,\,,\,\,1/K=\ell\,\)と置くと
\(\quad r=\dfrac{\ell}{1+\ve\cos\theta}\qquad\cdots\,\)(24)\(\hspace{20mm}\)となり、第一法則が導出された。
3.ケプラーの第3法則
\(\hspace{45mm}\)
近日点と遠日点での距離と速度をそれぞれ\(\,R_1\,\,,\,v_1\,\)と\(\,R_2\,\,,\,\,v_2\,\)とする。
近日点と遠日点の面積速度\(\,V_s\,\)は同じなので
\(\quad V_s=\dfrac{1}{2}v_1R_1=\dfrac{1}{2}v_2R_2\qquad\cdots\,\)(26)
またエネルギー保存則より、近日点と遠日点のエネルギーは等しいので
\(\quad E_s=\dfrac{1}{2}mv_1^2-\dfrac{GMm}{R_1}=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GMm}{R_2}\qquad\cdots\,\)(27)
(26)式と(27)式から
\(\quad v_1R_1=v_2R_2\qquad\longrightarrow\qquad\dfrac{v_2}{v_1}={R_1}{R_2}\qquad\cdots\)(28)
\(\quad\dfrac{1}{2}v_1^2\left(1-\dfrac{v_2^2}{v_1^2}\right)=\dfrac{GM}{R_1}\left(1-\dfrac{R_1}{R_2}\right)\qquad\)(28)式を代入すると
\(\quad\dfrac{1}{2}v_1^2\left(1-\dfrac{R_1^2}{R_2^2}\right)=\dfrac{GM}{R_1}\left(1-\dfrac{R_1}{R_2}\right)\qquad\cdots\,\)(29)
(29)式を\(\,\left(1-\frac{R_1}{R_2}\right)\,\)で割ると
\(\quad\dfrac{1}{2}v_1^2\left(1+\dfrac{R_1}{R_2}\right)=\dfrac{GM}{R_1}\qquad\)これにより
\(\quad v_1=\sqrt{\dfrac{2R_2GM}{R_1(R_1+R_2)}}\qquad\cdots\,\)(30)
面積速度は
\(\quad V_s=\dfrac{1}{2}v_1R_1=\frac{1}{2}R_1\sqrt{\dfrac{2R_2GM}{R_1(R_1+R_2)}}=\sqrt{\dfrac{R_1R_2GM}{2(R_1+R_2)}}\qquad\cdots\,\)(31)
\(\quad\)ここで楕円の性質より \(\qquad R_1+R_2=2a\quad , \quad R_1R_2=b^2\)
\(\quad\) ここで楕円の面積より \(\qquad S=\pi ab \qquad\)これらを代入すると
\(\quad V_s=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{GM}{a}}\qquad\cdots\,\)(33)
\(\quad S=V_sT=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{GM}{a}}T=\pi ab\)
\(\quad \dfrac{GM}{a}=\left(\dfrac{2\pi a}{T}\right)\quad\longrightarrow\quad\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}\qquad\cdots\,\)(34)\(\qquad\)が導かれる。
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