\(\def\bm{\boldsymbol}\)\(\def\mb{\mathbf}\)\(\def\di{\displaystyle}\)\(\def\ve{\varepsilon_0}\)\(\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\)\(\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}\)
1.楕円とは
「2定点\(\,F，F’\,\)からの距離の和が一定である点\(\,P\,\)の軌跡」を楕円という。
2.楕円の方程式
２定点の座標を、\(F\,(c,0)\,\,F’\,(-c,0)\,\)とし、点\(\,P\,(x,y)\,\)とする。距離の和が一定なので、
\(\quad \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\qquad\cdots\,\)(1)
この(1)式を展開変形すると
\(\quad(x+c)^2+y^2=4a^2\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)
\(\quad a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\)
\(\quad a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2\)
\(\quad a^2x^2=c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\)
\(\quad x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\qquad\cdots\,\)(2)
ここで、\(a>c>0\,\)より \(\sqrt{a^2-c^2}=b\,\)とおくと
\(\quad x^2b^2+a^2y^2=a^2b^2\quad\longrightarrow\quad\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad\cdots\,\)(3)
この(3)式は通常現れる楕円の式である。
3.極座標における楕円
三角形 \(FF’P\,\)を考える。この三角形に余弦定理を使う。
\(\quad \overline{PF’}^2=\overline{FF’}^2+\overline{FP}^2-2\overline{FF’}\,\overline{FP}\,\cos\angle FF’P\)
ここで、\(\overline{FF’}=2c\,\,,\,\,\overline{PF}=r\,\,,\,\,\overline{PF’}=2a-r\,\,,\,\,\angle FF’P=\pi-\theta\,\)を代入すると
\(\quad (2a-r)^2=r^2+(2c)^2-2r\cdot2\cos(\pi-\theta)\)
\(\quad 4a^2-4ar+r^2=r^2+4c^2+4r\cos\theta\)
\(\quad a^2-ar=c^2+rc\cos\theta\)
\(\quad a^2-c^2=r(a+c\cos\theta)\)
\(\quad r=\dfrac{a^2-c^2}{a+c \cos\theta}=\dfrac{\dfrac{a^2-c^2}{a}}{1+\dfrac{c}{a}\cos\theta}\)
ここで、\(\dfrac{c}{a}=\ve\,\,,\,\,\dfrac{a^2-c^2}{a}=\ell\quad\)とおくと
\(\quad r=\dfrac{\ell}{1+\ve\cos\theta}\qquad\cdots\,\)(4)
となり、ケプラーの第1法則での式が現れる。
4.楕円の性質
点\(\,P\)が\(\,(c,0)\,\,or\,\,(-c,0)\,\)にあるときは定義により\(\quad R_1+R_2=2a\quad\)が成り立つ。
点\(\,P\)が\(\,(c,0)\,\)にあるときは\(\quad 2c=R_2-R_1\quad\)となる。
また図のように点\(\,P\)が\(\,(0,b)\,\)にあるときは、\(\,R_1=R_2=a\,\quad\)なので\(\quad b^2=a^2-c^2\quad\cdots\,\)(5) となる。
これらを合わせると
\(\quad b^2=a^2-c^2\)
\(\hspace{9mm} =\dfrac{1}{4}\left(R_1^2+2R_1R_2+R_2^2-R_1^2+2R_1R_2-R_2^2\right)\)
\(\hspace{9mm} =R_1R_2\qquad\cdots\,\)(6)
また、式(5)より離心率\(\,\ve\,\)は次のように定義される。
\(\quad\ve=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\qquad\cdots\,\)(7)
これより焦点の座標は \(\,c=\ve a\,\quad\Longrightarrow\quad(\pm \ve a\,,\,0)\,\)と表す事が出来る。
5.楕円の面積
面積は楕円の方程式を積分して求めることする。計算は第1象限のみを行い結果を4倍して面積とする。
\(\quad S=4\di\int_0^ab\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\,dx\qquad\cdots\,\)(8)
ここで、\(\,x=a\cos\theta\,\,\left(0\ge\theta\ge\frac{\pi}{2}\right)\,\,\)と置換すると
\(\quad\dfrac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta\quad\)となるので、式(8)は
\(\quad S=4\di\int_{\frac{\pi}{2}}^0b\sqrt{1-\cos^2\theta}\,(-a)\sin\theta\,d\theta\)
\(\hspace{9mm}=4\di\int_0^{\frac{\pi}{2}}ab\sin^2\theta\,d\theta\notag\)
\(\hspace{9mm}=4\di\int_0^{\frac{\pi}{2}}ab\,\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}\,d\theta\)
\(\hspace{9mm}=\left[2ab\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\hspace{9mm}=\pi ab\qquad\cdots\,\)(10)\(\qquad\)となる。
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