差分について


\(\def\bm{\boldsymbol}\)\(\def\di{\displaystyle}\)\(\def\ve{\varepsilon_0}\)\(\newcommand{\pdr}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}\)\(\newcommand{\ppdr}[2]{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2}}\)
◆ はじめに
流れ解析において、微分方程式の数値解を求める手法として、まず『差分法』を挙げることが出来る。 関数 \(f(x)\,\)の\(\,x=x_i\,\)における微分は

\(\quad \dfrac{df}{dx}=\di\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(1)\)

で表される。ここで、極限をとらずに\(\,h\,\)が十分小さいとして、”\(\,\sim\,\)” の記号を使って、以下のように表す。

\(\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(2)\)

図で言うと、点 \(P\,\)の傾きを\(\,PA\,\)の傾きとするのが『前進差分』である。逆に\(\,BP\,\)とするのが『後退差分』(式(3))である。

\(\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(3)\)

点\(\,P\,\)での微分を\(\,BA\,\)の傾きとするのが『中心差分』である。図の差を\(\,h=h_1=h_2\,\)とする。

\(\quad \dfrac{df}{dx}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}\quad\cdots\,(4)\)

◆ 2次微分
式(4)を\(\,x\,\)で微分すると

\(\quad \left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}=\dfrac{df^{\prime}}{dx}\,\sim\,\dfrac{f^{\prime}(x_i+h)-f^{\prime}(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(5)\)

ここで、\(f^{\prime}(x_i+h)\,\)を\(\,f(x_i)\,\)の前進差分(式(1))として展開すると、

\(\quad \left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\quad\cdots\,(6)\)

\(f^{\prime}(x_i-h)\,\)を\(\,f(x_i)\,\)の後退差分(式(2))として展開すると、

\(\quad \left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}\quad\cdots\,(7)\)

式(6),(7)を式(5)に代入すると

\(\quad \left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}\,\sim\,\dfrac{f(x_i+h)-2f(x_i)+f(x_i-h)}{h^2}\quad\cdots\,(8)\)

◆ 不均等格子での差分
 左図のような\(\,h_1\ne h_2\,\)の場合、不均等格子となる。三点の線形結合で微分を差分で表すことを考える。\(\,f(x_i)\,\)を\(\,f_i\,\)と表すこととする。

\(\,a\,f_{i-1}+b\,f_i+c\,f_{i+1}\quad\cdots\,(10)\)

テーラー展開は次のようになる。

\(\quad g(e)=g(d)+g^{\prime}(d)(e-d)+\dfrac{g^{\prime\prime}(d)}{2!}(e-d)^2+\cdots\)

\(\,a\,f_{i-1}\,\)をテーラー展開すると

\(\quad af(x_i-h_1)=af(x_i)+af^{\prime}(x_i)(-h_1)+a\dfrac{f^{\prime\prime}(x_i)}{2!}(-h_1)^2+\cdots\quad (11)\)

\(\,c\,f_{i+1}\,\)をテーラー展開すると

\(\quad cf(x_i+-h_2)=cf(x_i)+cf^{\prime}(x_i)(h_2)+c\dfrac{f^{\prime\prime}(x_i)}{2!}(h_2)^2+\cdots\quad (12)\)

式(11)と(12)を式(10)に代入すると

\(\quad a\,f_{i-1}+b\,f_i+c\,f_{i+1}=(a+b+c)f_i+(ch_2-ah_1)f_i^{\prime}+(ah_1^2+ch_2^2)\dfrac{f_i^{\prime\prime}}{2}+\cdots\,(13)\)

これより、1階微分\(\,f_i^{\prime}\,\)を\(\,f_{i-1}\,\,,\,\,f_i\,\,,\,\,f_{i+1}\,\)の線形結合で表すには

\(\,a+b+c=0\ \ ,\quad ch_2-ah_1=1\ \ ,\quad 1/2(ah_1^2+ch_2^2)=0\ \)とおいて、\(a\ ,\ b\ ,\ c\ \)を求める。

\(\,\,a=-\dfrac{h_2}{h_1(h_1+h_2)}\,\,,\quad b=\dfrac{h_2-h_1}{h_1h_2}\,\,,\quad c=\dfrac{h_1}{h_2(h_1+h_2)}\quad\)となる。具体的な近似式は

\(\quad\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_i}=\dfrac{-h_2^2\,f_{i-1}+(h_2-h_1)(h_2+h_1)\,f_i+h_1^2\,f_{i+1}}{h_1h_2(h_1+h_2)}\quad\cdots\,(14)\)

同様に、2階微分\(\,f_i^{\prime\prime}\,\)を\(\,f_{i-1}\,\,,\,\,f_i\,\,,\,\,f_{i+1}\,\)の線形結合で表すには

\(\,a+b+c=0\ \ ,\quad ch_2-ah_1=0\ \ ,\quad 1/2(ah_1^2+ch_2^2)=1\ \)とおいて、\(a\ ,\ b\ ,\ c\ \)を求める。

\(\,\,a=\dfrac{2}{h_1(h_1+h_2)}\,\,,\quad b=-\dfrac{2}{h_1h_2}\,\,,\quad c=\dfrac{2}{h_2(h_1+h_2)}\quad\)となる。近似式は以下のようになる。

\(\quad\left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_i}=\dfrac{2\,h_2\,f_{i-1}-2\,(h_2+h_1)\,f_i+2\,h_1\,f_{i+1}}{h_1h_2(h_1+h_2)}\quad\cdots\,(15)\)

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