レーン=エムデン方程式(2)


その1で導出したレーン=エムデン方程式は
\(\quad\dfrac{1}{\xi^2}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2\dfrac{d\theta}{d\xi}\right)=-\theta^N\quad\cdots\,\)(1)
で、\(\,\theta\,\)は無次元化した密度、\(\,\xi\,\)は無次元化した半径である。中心での境界条件は、\(\xi\to 0\,\)のとき\(\,\theta=1\,,\,\dfrac{d\theta}{d\xi}=0\,\)である。

[1]\(N=0\,\)の時の解析解
式(1)を一般の\(\,N\,\)について解析解は得られないが、\(N=0\,,\,1\,,\,5\,\)の時は得ることが出来る。
なお、以降は見やすくするために\(\,\xi\,,\,\theta\,\)を\(\,x\,,\,y\,\)と記述する。式(1)は
\(\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-x^N\quad\cdots\,\)(2)
となる。ここに\(\,N=0\,\)を代入すると
\(\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-1\quad\cdots\,\)(3)
両辺に\(\,x^2\,\)をかけると
\(\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-x^2\quad\cdots\,\)(4)

この式の両辺を\(\,x\,\)で積分すると
\(\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}x^3+C_1\,\cdots\,\)(5)
となる。\(C_1\,\)は積分定数。両辺を\(\,x^2\,\)で割ると
\(\quad\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{C_1}{x^2}\quad\cdots\,\)(6)

再度\(\,x\,\)で積分すると
\(\quad y=-\dfrac{1}{6}x^2-\dfrac{C_1}{x}+C_2\quad\cdots\,\)(7)
ここで、\(\,x=0\,\)のとき\(\,y=1\,\)の条件を満たすためには、\(C_1=0\,\)で\(\,C_2=1\,\)とする必要がある。よって、\(N=0\,\)の時は
\(\quad y=1-\dfrac{1}{6}x^2\quad\cdots\,\)(8)
となる。

[2]\(N=1\,\)の時の解析解
式(2)に\(\,N=1\,\)を代入すると
\(\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)+y=0\quad\cdots\,\)(9)
ここで、\(z=xy\,\)とすると
\(\quad\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{x}\right)=\dfrac{1}{x}\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{z}{x^2}\quad\cdots\,\)(10)

式(10)の両辺に\(\,x^2\,\)をかけると
\(\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=x\dfrac{dz}{dx}-z\quad\cdots\,\)(11)
となり、これを\(\,x\,\)で微分すると
\(\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(x\dfrac{dz}{dx}-z\right)=x\dfrac{d^2z}{dx^2}\quad\cdots\,\)(12)
式(12)を式(9)に代入すると
\(\quad\dfrac{1}{x}\dfrac{d^2z}{dx^2}+y=\dfrac{d^2z}{dx^2}+z=0\quad\cdots\,\)(13)
という2階微分方程式になる。

この方程式の解は
\(\quad z=A\cos x+B\sin x\)
で、\(z=xy\,\)と変数を元に戻すと
\(\quad y=\dfrac{A\cos x}{x}+\dfrac{B\sin x}{x}\quad\cdots\,\)(14)

ここで、\(x\to 0\,\)の時、\(y\to 1\,\)なので、\(A=0\,,B=1\,\)となり
\(\quad y=\dfrac{\sin x}{x}\quad\cdots\,\)(15)
となる。

[3]\(N=5\,\)の時の解析解
式(2)に\(\,N=5\,\)を代入すると
\(\quad\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-y^5\quad\cdots\,\)(16)

ここで、特殊な変数変換を行う。
\(\quad x=e^{-t}\quad\cdots\,\)(17)
\(\quad y=\sqrt{\dfrac{1}{2}e^t}\,Z\quad\cdots\,\)(18)
式(17)より
\(\quad\dfrac{dx}{dt}=-x\quad\cdots\,\)(17)

また、\(Z\,\)の\(\,x\,\)微分は
\(\quad\dfrac{dZ}{dx}=\dfrac{dZ}{dt}\dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{x}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,\)(18)

微分演算子には以下の関係がある
\(\quad\dfrac{d}{dx}=-\dfrac{1}{x}\dfrac{d}{dt}\quad\cdots\,\)(19)

まず、式(18)を\(\,x\,\)で微分すると
\(\quad\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}Z+\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dx}\)
\(\qquad=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}Z-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{3}{2}}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,\)(20)

式(20)の両辺に\(\,x^2\,\)をかけると
\(\quad x^2\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}Z-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}\quad\cdots\,\)(21)

この式(21)を\(\,x\,\)で微分する
\(\quad\dfrac{d}{dx}\left(x^2\dfrac{dy}{dx}\right)=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}\)
\(\qquad\qquad-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{dZ}{dt}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\)
\(\qquad=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z+\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}\dfrac{d^2Z}{dt^2}\quad\cdots\,\)(22)

ここで
\(\quad -x^2y^5=-x^2\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{5}{2}}Z^5=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}Z^5\quad\cdots\,\)(23)
なので式(22)(23)を(16)に代入すると
\(\quad-\dfrac{1}{4}Z+\dfrac{d^2Z}{dt}=-\dfrac{1}{4}Z^5\quad\)より
\(\quad\dfrac{d^2Z}{dt^2}=\dfrac{1}{4}Z(1-Z^4)\quad\cdots\,\)(24)
という形に書き直すことができる。式(24)の両辺に\(\dfrac{dZ}{dt}\,\)をかけると
\(\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\left(\dfrac{d^2Z}{dt^2}\right)=\dfrac{1}{4}Z\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)-\dfrac{1}{4}Z^5\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\,\cdots\,\)(25)

ここで左辺は以下のように変形でき
\(\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)\left(\dfrac{d^2Z}{dt^2}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\left[\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2\right]\quad\cdots\,\)(26)

右辺の計算も
\(\quad Z\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\left(Z^2\right)\quad\cdots\,\)(27)
と変形できるので、式(25)は
\(\quad\dfrac{d}{dt}\left[\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\dfrac{d}{dt}\left(Z^2\right)-\dfrac{1}{12}\dfrac{d}{dt}\left(Z^6\right)\quad\cdots\,\)(28)

\(\,t\,\)で積分すると
\(\quad\left(\dfrac{dZ}{dt}\right)^2=\dfrac{Z^2}{4}-\dfrac{Z^6}{12}+D\quad\cdots\,\)(29)
となる。\(\,D\,\)は積分定数である。\(x\to 0\,\)のとき、\(Z=0\,dZ/dt=0\,\)なので、\(D=0\,\)である。よって次の式が得られる。

\(\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=\pm\dfrac{1}{2}dt\quad\cdots\,\)(30)
左辺の正負の符号は境界条件より負を選択する。
\(\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=-\dfrac{1}{2}dt\quad\cdots\,\)(31)

この方程式を解くために、さらなる変数変換を行う。
\(\quad\dfrac{1}{3}Z^4=\sin^2\phi\quad\cdots\,\)(32)
この式の微分形は以下のようになる。
\(\quad\dfrac{4}{3}Z^3\,dZ=2\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi\quad\cdots\,\)(33)

式(32)(33)を(31)の左辺に代入すると
\(\quad\dfrac{dZ}{Z\sqrt{1-\frac{1}{3}Z^4}}=\dfrac{1}{Z\sqrt{1-\sin^2\phi}}\dfrac{3}{4Z^3}2\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi\)
\(\qquad=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{Z^4}\dfrac{\sin\phi\,\cos\phi\,d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\phi}}=\dfrac{1}{2\sin^2\phi}\dfrac{\sin\phi\,\cos\phi}{\cos\phi}d\phi\)
\(\qquad=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sin\phi}\,d\phi=\dfrac{1}{2}\mathrm{cosec}\,\phi\,d\phi\quad\cdots\,\)(34)
より(31)の方程式は以下の形に変形できる。

\(\quad\mathrm{cosec}\,\phi=-dt\quad\cdots\,\)(35)
両辺を積分すると
\(\quad\ln\left|\tan\dfrac{\phi}{2}\right|=-t+C’\quad\cdots\,\)(36)
より
\(\quad\tan\dfrac{\phi}{2}=Ce^{-t}\quad\cdots\,\)(37)

ここで、式(32)から
\(\quad Z^4=3\sin^2\phi=\dfrac{12\tan^2\frac{\phi}{2}}{\left(1+\tan^2\frac{\phi}{2}\right)^2}\quad\cdots\,\)(38)
この式(38)に式(37)を代入すると
\(\quad Z^4=\dfrac{12C^2e^{-2t}}{(1+C^2e^{-2t})^2}\)
\(\quad Z=\pm\left[\dfrac{12C^2e^{-2t}}{(1+C^2e^{-2t})^2}\right]^{\frac{1}{4}}\quad\cdots\,\)(39)

ここで、\(Z\,\)は式(18)より正で、式(17)(18)を代入すると
\(\quad y=\left[\dfrac{3C^2}{(1+C^2e^{-2t})^2}\right]^{\frac{1}{4}}=\left[\dfrac{3C^2}{(1+C^2x^2)^2}\right]^{\frac{1}{4}}\quad\cdots\,\)(40)

\(x=0\,\)で\(\,y=0\,\)という条件なので、
\(\quad 1=(3C^2)^{\frac{1}{4}}\quad\)より\(\quad C^2=\dfrac{1}{3}\quad\)が得られ
\(\quad y=\left[\dfrac{1}{(1+\frac{1}{3}x^2)^2}\right]^{\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}x^2}}\quad\cdots\,\)(41)
となる。







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